Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 18 kwie 2009, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Oblicz całkę krzywoliniową w polu potencjalnym:
\(\displaystyle{ \int_{ 0,0 }^{ \frac{ \pi }{2} ,0} (\cos(x) \cdot \sin(y))dx+(\tg(y)+e ^{y}+\sin(x) \cdot \cos(y))dy}\)
Jak wyznaczyć z tego x i y i jak się zmienia t?
\(\displaystyle{ \int_{ 0,0 }^{ \frac{ \pi }{2} ,0} (\cos(x) \cdot \sin(y))dx+(\tg(y)+e ^{y}+\sin(x) \cdot \cos(y))dy}\)
Jak wyznaczyć z tego x i y i jak się zmienia t?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Skoro pole jest potencjalne, to wartość całki to różnica wartości potencjału w końcu i początku krzywej.
Wystarczy więc znaleźć ten potencjał.
Q.
Wystarczy więc znaleźć ten potencjał.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Jeśli już znamy potencjał, to wystarczy podstawić do niego punkt końcowy i początkowy.
Rozumiem, że jednak pytasz jak wyznaczyć wzór na potencjał. Otóż jest to taka funkcja \(\displaystyle{ U}\), której pochodna cząstkowa po \(\displaystyle{ x}\) to to co stoi przy \(\displaystyle{ dx}\) w całce, a pochodna cząstkowa po \(\displaystyle{ y}\) to to co stoi przy \(\displaystyle{ y}\).
Skoro przy \(\displaystyle{ dx}\) stoi \(\displaystyle{ \cos x \sin y}\), to mamy:
\(\displaystyle{ U= \int \cos x\sin y dx = \sin x\sin y +C(y)}\)
przy czym stała jak najbardziej może zależeć od \(\displaystyle{ y}\).
Jeśli policzymy teraz pochodną wyniku po \(\displaystyle{ y}\), to otrzymamy to co stało przy \(\displaystyle{ dy}\), a stąd już łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ C(y)}\), a co za tym idzie także cały potencjał.
Q.
Rozumiem, że jednak pytasz jak wyznaczyć wzór na potencjał. Otóż jest to taka funkcja \(\displaystyle{ U}\), której pochodna cząstkowa po \(\displaystyle{ x}\) to to co stoi przy \(\displaystyle{ dx}\) w całce, a pochodna cząstkowa po \(\displaystyle{ y}\) to to co stoi przy \(\displaystyle{ y}\).
Skoro przy \(\displaystyle{ dx}\) stoi \(\displaystyle{ \cos x \sin y}\), to mamy:
\(\displaystyle{ U= \int \cos x\sin y dx = \sin x\sin y +C(y)}\)
przy czym stała jak najbardziej może zależeć od \(\displaystyle{ y}\).
Jeśli policzymy teraz pochodną wyniku po \(\displaystyle{ y}\), to otrzymamy to co stało przy \(\displaystyle{ dy}\), a stąd już łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ C(y)}\), a co za tym idzie także cały potencjał.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 18 kwie 2009, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Przepraszam kolego, ale nie ogarniam zbytnio.
Mam całkę która napisałem w pierwszym poście. Chcę ją obliczyć. Wynik jej to będzie po prostu różnica wartości potencjału na końcu, a wartości potencjału na początku. Nie wiem jak wyznaczyć te wartości na końcu i potem wartość na początku...
Mam całkę która napisałem w pierwszym poście. Chcę ją obliczyć. Wynik jej to będzie po prostu różnica wartości potencjału na końcu, a wartości potencjału na początku. Nie wiem jak wyznaczyć te wartości na końcu i potem wartość na początku...
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Żeby wyznaczyć wartość funkcji \(\displaystyle{ U(x,y)}\) w jakimś punkcie, trzeba po prostu podstawić ten punkt do wzoru. A sposób na wyznaczenie funkcji \(\displaystyle{ U(x,y)}\) został wyżej podany. Czego dokładnie nie rozumiesz?
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 18 kwie 2009, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Mam podaną tą całkę.
To co stoi przy dx, obliczam z tego pochodną po x?
To co stoi przy dy, obliczam pochodną po y?
potem pochodne mnożę i z wyniku liczę całkę. Potem do wyniku podstawiam x i y punktu końcowego, a potem punktu początkowego i wyniki od siebie odjąć i to jest rozwiązanie?
To co stoi przy dx, obliczam z tego pochodną po x?
To co stoi przy dy, obliczam pochodną po y?
potem pochodne mnożę i z wyniku liczę całkę. Potem do wyniku podstawiam x i y punktu końcowego, a potem punktu początkowego i wyniki od siebie odjąć i to jest rozwiązanie?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Zupełnie nie.
Jeśli liczymy całkę \(\displaystyle{ \int P dx + Qdy}\), to warunkiem koniecznym na istnienie potencjału jest \(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}\). Jeśli ten warunek jest spełniony, to wiemy, że istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ U}\), że \(\displaystyle{ P=\frac{\partial U}{\partial x},Q= \frac{\partial U}{\partial y}}\). I wówczas:
\(\displaystyle{ \int_{AB} P dx + Qdy= U(B)-U(A)}\)
A sam sposób na wyznaczenie potencjału został przedstawiony wyżej. Jeśli nie jest on jasny, to proszę o wskazanie konkretnego niezrozumiałego miejsca.
Q.
Jeśli liczymy całkę \(\displaystyle{ \int P dx + Qdy}\), to warunkiem koniecznym na istnienie potencjału jest \(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}\). Jeśli ten warunek jest spełniony, to wiemy, że istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ U}\), że \(\displaystyle{ P=\frac{\partial U}{\partial x},Q= \frac{\partial U}{\partial y}}\). I wówczas:
\(\displaystyle{ \int_{AB} P dx + Qdy= U(B)-U(A)}\)
A sam sposób na wyznaczenie potencjału został przedstawiony wyżej. Jeśli nie jest on jasny, to proszę o wskazanie konkretnego niezrozumiałego miejsca.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Odpowiedź na to pytanie już została w tym wątku udzielona, a prośba o wskazanie przez Ciebie niejasnego miejsca w odpowiedzi została zignorowana.
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Tak, przy czym tu już stała \(\displaystyle{ C}\) jest niepotrzebna (podobnie jak przy całkach oznaczonych funkcji jednej zmiennej).
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 18 kwie 2009, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Wstawiam za x 0 i za y 0 i mi wychodzi 1. <- to jest punkt końcowy.
Wstawiam za x \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\), a za y 0 i mi wychodzi 1. <- to jest punkt początkowy.
Wynik 1-1=0
Może tak być?
Wstawiam za x \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\), a za y 0 i mi wychodzi 1. <- to jest punkt początkowy.
Wynik 1-1=0
Może tak być?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym
Parafrazując cytat z Rozmów Kontrolowanych odpowiem:
Czy może tak być, że wychodzi zero? Widocznie może, skoro wychodzi.
Q.
Czy może tak być, że wychodzi zero? Widocznie może, skoro wychodzi.
Q.