Witam proszę o jakieś pomysły na rozwiązanie poniższego zadania
\(\displaystyle{ \varphi (x,y)}\) to funkcja harmoniczna w \(\displaystyle{ x^2+y^2 <2}\)
taka, że \(\displaystyle{ \varphi (1/2,1/2)=0.}\) Udowodnij, że istnieją co najmniej dwie różne wartości \(\displaystyle{ t in [0,2 pi)}\) takie, że \(\displaystyle{ \varphi (cos t,sin t)=0.}\)
funkcja harmoniczna na okręgu
-
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
funkcja harmoniczna na okręgu
Są dwa przypadki.
1) Twoja funkcja jest stała, wtedy teza zachodzi w sposób oczywisty.
2) Twoja funkcja nie jest stała. Rozpatrzmy okrąg jednostkowy. Zasada maksimum/minimum dla funkcji harmonicznych mówi, że f osiąga maksimum/minimum na brzegu dysku, czyli na okręgu jednostkowym. W szczególności, w pewnym punkcie okręgu jednostkowego jest dodatnia, a w pewnym ujemna. Zostawiam Tobie do pokazania, że funkcja na okręgu o tej własności ma najmniej dwa zera.
1) Twoja funkcja jest stała, wtedy teza zachodzi w sposób oczywisty.
2) Twoja funkcja nie jest stała. Rozpatrzmy okrąg jednostkowy. Zasada maksimum/minimum dla funkcji harmonicznych mówi, że f osiąga maksimum/minimum na brzegu dysku, czyli na okręgu jednostkowym. W szczególności, w pewnym punkcie okręgu jednostkowego jest dodatnia, a w pewnym ujemna. Zostawiam Tobie do pokazania, że funkcja na okręgu o tej własności ma najmniej dwa zera.