Całka krzywoliniowa w polu potencjalnym

[bum]

Oblicz całkę krzywoliniową w polu potencjalnym:

\(\displaystyle{ \int_{ 0,0 }^{ \frac{ \pi }{2} ,0} (\cos(x) \cdot \sin(y))dx+(\tg(y)+e ^{y}+\sin(x) \cdot \cos(y))dy}\)

Jak wyznaczyć z tego x i y i jak się zmienia t?

[Qń]

Skoro pole jest potencjalne, to wartość całki to różnica wartości potencjału w końcu i początku krzywej.
Wystarczy więc znaleźć ten potencjał.

Q.

[bum]

A możesz jakoś napisać jak wyliczyć ten potencjał na początku i na końcu?

[Qń]

Jeśli już znamy potencjał, to wystarczy podstawić do niego punkt końcowy i początkowy.

Rozumiem, że jednak pytasz jak wyznaczyć wzór na potencjał. Otóż jest to taka funkcja \(\displaystyle{ U}\), której pochodna cząstkowa po \(\displaystyle{ x}\) to to co stoi przy \(\displaystyle{ dx}\) w całce, a pochodna cząstkowa po \(\displaystyle{ y}\) to to co stoi przy \(\displaystyle{ y}\).
Skoro przy \(\displaystyle{ dx}\) stoi \(\displaystyle{ \cos x \sin y}\), to mamy:
\(\displaystyle{ U= \int \cos x\sin y dx = \sin x\sin y +C(y)}\)
przy czym stała jak najbardziej może zależeć od \(\displaystyle{ y}\).
Jeśli policzymy teraz pochodną wyniku po \(\displaystyle{ y}\), to otrzymamy to co stało przy \(\displaystyle{ dy}\), a stąd już łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ C(y)}\), a co za tym idzie także cały potencjał.

Q.

[bum]

Przepraszam kolego, ale nie ogarniam zbytnio.

Mam całkę która napisałem w pierwszym poście. Chcę ją obliczyć. Wynik jej to będzie po prostu różnica wartości potencjału na końcu, a wartości potencjału na początku. Nie wiem jak wyznaczyć te wartości na końcu i potem wartość na początku...

[Qń]

Żeby wyznaczyć wartość funkcji \(\displaystyle{ U(x,y)}\) w jakimś punkcie, trzeba po prostu podstawić ten punkt do wzoru. A sposób na wyznaczenie funkcji \(\displaystyle{ U(x,y)}\) został wyżej podany. Czego dokładnie nie rozumiesz?

Q.

[bum]

Mam podaną tą całkę.
To co stoi przy dx, obliczam z tego pochodną po x?
To co stoi przy dy, obliczam pochodną po y?
potem pochodne mnożę i z wyniku liczę całkę. Potem do wyniku podstawiam x i y punktu końcowego, a potem punktu początkowego i wyniki od siebie odjąć i to jest rozwiązanie?

[Qń]

Zupełnie nie.

Jeśli liczymy całkę \(\displaystyle{ \int P dx + Qdy}\), to warunkiem koniecznym na istnienie potencjału jest \(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}\). Jeśli ten warunek jest spełniony, to wiemy, że istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ U}\), że \(\displaystyle{ P=\frac{\partial U}{\partial x},Q= \frac{\partial U}{\partial y}}\). I wówczas:
\(\displaystyle{ \int_{AB} P dx + Qdy= U(B)-U(A)}\)

A sam sposób na wyznaczenie potencjału został przedstawiony wyżej. Jeśli nie jest on jasny, to proszę o wskazanie konkretnego niezrozumiałego miejsca.

Q.

[bum]

Dokładnie to jak wyznaczyć U żeby jej pochodna po x dawała P, a pochodna po y dawała Q. Jak znaleźć tą funkcje.

[Qń]

Odpowiedź na to pytanie już została w tym wątku udzielona, a prośba o wskazanie przez Ciebie niejasnego miejsca w odpowiedzi została zignorowana.

Q.

[bum]

Czy wynik to będzie:
\(\displaystyle{ \sin(y)\sin(x)-\ln(\cos(y))+e ^{y} +C}\) ?

[Qń]

Tak, przy czym tu już stała \(\displaystyle{ C}\) jest niepotrzebna (podobnie jak przy całkach oznaczonych funkcji jednej zmiennej).

Q.

[bum]

Wstawiam za x 0 i za y 0 i mi wychodzi 1. <- to jest punkt końcowy.
Wstawiam za x \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\), a za y 0 i mi wychodzi 1. <- to jest punkt początkowy.

Wynik 1-1=0

Może tak być?

[Qń]

Parafrazując cytat z Rozmów Kontrolowanych odpowiem:
Czy może tak być, że wychodzi zero? Widocznie może, skoro wychodzi.

Q.