Mam takie zadanie:
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{4x}{x+y}}\).
a) Wyznacz i narysuj warstwicę dla wartości 2. Sprawdź czy punkt P(2,2) należy do warstwicy.
b) wyznacz kierunek największego wzrostu funkcji f w punkcje P(2,2).
I tak:
- wyznaczyłem warstwicę i dla \(\displaystyle{ \frac{4x}{x+y}=2}\)wyszło mi, że \(\displaystyle{ y=x}\). Nie jestem pewien czy dobrze. I jak sprawdzić czy ten punkt P(2,2) należy do tej warstwicy? Podstawić do wzoru funkcji?
- Wyliczyłem gradient (z przykładu b -wydaje mi się, że to chodzi o gradient) i tak:
wyliczyłem pochodne 1 rzedu po X i po Y:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{4x}{x+y}}\)
\(\displaystyle{ f'x= \frac{y}{(x+y) ^{2} }}\) i \(\displaystyle{ f'y= \frac{-4x}{(x+y) ^{2} }}\)
podstawiłem pod każdy z tych wzorów punkty x i y i wyszło mi, że gradient \(\displaystyle{ f(2,2)= \frac{1}{8}i+5j}\).
Czy dobrze zrobiłem? Z góry dziękuję za wszelką pomoc
Wyznacz warstwicę funkcji oraz kierunek największego wzrostu
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Wyznacz warstwicę funkcji oraz kierunek największego wzrostu
Prawie dobrze.
Warstwica, o którą tu chodzi, to zbiór punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełniających równanie:
\(\displaystyle{ \frac{4x}{x+y}=2}\).
Są to wszystkie punkty spełniające równanie
\(\displaystyle{ 4x=2x+2y}\)
takie, że \(\displaystyle{ x+y\neq 0}\), czyli prosta \(\displaystyle{ y=x}\) bez punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) w którym dana funkcja nie jest określona.
Punkt \(\displaystyle{ (2,2)}\) spełnia to równanie, wystarczy podstawić, więc należy do warstwicy.
Kierunek najszybszego wzrostu to gradient w punkcie \(\displaystyle{ (2,2)}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{4y}{(x+y)^2}\\\\\frac{-4x}{(x+y)^2}\end{pmatrix}}\)
skąd
\(\displaystyle{ \nabla f(2,2)=\begin{pmatrix}\frac{8}{4^2}\\\\\frac{-8}{4^2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac 12\\\\-\frac 12\end{pmatrix}=\frac 12 i-\frac 12 j}\)
Warstwica, o którą tu chodzi, to zbiór punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełniających równanie:
\(\displaystyle{ \frac{4x}{x+y}=2}\).
Są to wszystkie punkty spełniające równanie
\(\displaystyle{ 4x=2x+2y}\)
takie, że \(\displaystyle{ x+y\neq 0}\), czyli prosta \(\displaystyle{ y=x}\) bez punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) w którym dana funkcja nie jest określona.
Punkt \(\displaystyle{ (2,2)}\) spełnia to równanie, wystarczy podstawić, więc należy do warstwicy.
Kierunek najszybszego wzrostu to gradient w punkcie \(\displaystyle{ (2,2)}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{4y}{(x+y)^2}\\\\\frac{-4x}{(x+y)^2}\end{pmatrix}}\)
skąd
\(\displaystyle{ \nabla f(2,2)=\begin{pmatrix}\frac{8}{4^2}\\\\\frac{-8}{4^2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac 12\\\\-\frac 12\end{pmatrix}=\frac 12 i-\frac 12 j}\)