Problem z granicą funkcji

[godofmayhem]

Mam do zrobienia taki przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }}\)

Jak powinienem zacząć?

[Lorek]

Od rozszerzenia ułamka przez sprzężenie mianownika i licznika.

[godofmayhem]

A możesz to rozpisać? Jakoś nie bardzo to widzę.

[Lorek]

A jak wygląda sprzężenie licznika?

[godofmayhem]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} } \cdot \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1}}{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1}}}\), tylko że mianownik przyjmuje dziwną postać.

[piasek101]

Wrzuć w wyszukiwarkę (naszą) sprzężenie i obadaj - bo masz nie tak.

[godofmayhem]

Pomyliłem znaki, chodziło mi o taką postać:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} } \cdot \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } + \sqrt{x+1}}{ \sqrt{ x^{2}+1 } + \sqrt{x+1}}}\), zgadza się?

Ale i tak mnie to nie urządza.

[Lorek]

To teraz to samo zrób dla mianownika.

[godofmayhem]

Wychodzi mi coś takiego :
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ x^{2}+ x^{2} \cdot \sqrt{x+1} -x -x \cdot \sqrt{x+1} }{-x \cdot \sqrt{ x^{2}+1 } - x \cdot \sqrt{x+1} }}\)

[Lorek]

Niepotrzebnie to rozpisywałeś, ale niech zostanie. Teraz każdy składnik zawiera \(\displaystyle{ x}\), więc można go skrócić.

[godofmayhem]

Dobra, skracam przez x i mam taką postać
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ x+ x \cdot \sqrt{x+1} -1 - \sqrt{x+1} }{- \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1} }}\)
lub taką
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{\left( x-1\right) \left( 1+ \sqrt{x+1} \right) }{ - \sqrt{x^{2}+1} - \sqrt{x+1} }}\)

Przepraszam za upierdliwość, ale nadal nie widzę co z tym zrobić.

[Lorek]

A teraz jak wstawisz \(\displaystyle{ 0}\) to wychodzi coś dziwnego?

[anna_]

Przecież sprzężenie mianownika to \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{x+1} }}\)

[godofmayhem]

Byłem przekonany, że będzie trzeba w pewnym miejscu skorzystać de L'Hospitala.
Dzięki!

[Lorek]

Hospitala to mogłeś i od razu zastosować, tylko po co?