pochodne czastkowe pierwszego rzedu, ciaglosc

[Anka20]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{xy}{x ^{2} +y ^{2}} & \text{dla} \ (x,y) \neq (0,0)} \\0 & \text{dla} \ (x,y)=(0,0)\end{cases}}\)

oblicz pochodne czastkowe pierwszego rzedu w kazdym punkcie plaszczyzny w \(\displaystyle{ \mathbb R ^{2}}\) i zbadaj ich ciaglosc w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).
jak zrobic to zadanie? pochodne liczyc zwyczajnie \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}}\) itd.? jak zbadac ciaglosc?

[aalmond]

pochodne liczyc zwyczajnie \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}}\) itd.?

Tak, z wyjątkiem punktu (0, 0). Licząc pochodną w tym punkcie skorzystaj z definicji.

jak zbadac ciaglosc?

Policz granicę.

[Anka20]

a mozesz zapisac ta granice? bo nigdzie w notatkach nie mam takiego typu zadania

[aalmond]

policz najpierw pochodne cząstkowe

[Anka20]

po \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ \frac{y ^{3} -x ^{2}y }{(x ^{2} +y ^{2} ) ^{2} }}\)
po \(\displaystyle{ y}\) \(\displaystyle{ \frac{x ^{3}-xy ^{2} }{(x ^{2} +y ^{2} ) ^{2} }}\)

[aalmond]

Dobrze. Teraz policz granicę w \(\displaystyle{ (0, 0)}\) dla tych funkcji.

[Anka20]

wychodza obie \(\displaystyle{ 0}\)