kat w trojkacie

[darek20]

Niech \(\displaystyle{ ABC}\) bedzie trójkątem równobocznym. Niech punkt \(\displaystyle{ C}\) lezy poza trójkątem tak że kąty \(\displaystyle{ DAC=x ,DCA=10^\circ ,DBC=x+30^\circ.}\) Oblicz \(\displaystyle{ x}\).

[Lider Artur]

zamiast \(\displaystyle{ C}\) powinno być chyba \(\displaystyle{ D}\) leży na zewnątrz trojkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

Narysuj sobie trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), punkt \(\displaystyle{ D}\) żeby w przybliżeniu te dane kąty mogły mieć takie wartości. Połącz punkt \(\displaystyle{ D}\) z wierzchołkami i korzystając jedynie z własności, że suma kątów w trójkącie wynosi \(\displaystyle{ 180}\)stopni powinieneś dać radę rozwiązać to zadanie.

[tometomek91]

Trójkąt ADB jest prostokątny, mamy:
\(\displaystyle{ AD=a sin(30-x)\\
DB=a cos(30-x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ a=AB=BC=CA}\)
Z tw. kosinusów w trójkącie CBD:
\(\displaystyle{ CD^2=DB^2+BC^2-2DB \cdot BC cos(x+30)=a^2 \left( cos^2(30-x)+1-2cos(30-x)cos(30+x) \right)}\)
Z tw. sinusów w trójkącie ACD:
\(\displaystyle{ \frac{CD}{sinx}=\frac{AD}{sin10}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{sinx}{sin10}=\frac{CD}{AD}=\frac{a\sqrt{ cos^2(30-x)+1-2cos(30-x)cos(30+x)}}{asin(30-x)}=...=\frac{\sqrt{sin^2(30+x)}}{sin(30-x)}}\)
Pozostaje rozwiązać
\(\displaystyle{ \frac{sinx}{sin10}=\frac{sin(30+x)}{sin(30-x)}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \cos{x} \cos{\frac{x+10}{2}} \sin{\frac{x-10}{2}}=\sqrt{3}\sin{x} \sin{\frac{x+10}{2}} \cos{\frac{x-10}{2}}}\)
ale narazie nie mam pomysłu jak dalej

[kropka+]

Twój post się zmienił, to dobrze. Wydaje mi się, że rozwiązań będzie nieskoczenie wiele. Zadanie należy rozpatrywać w kilku przypadkach, w zależności od położenia punktu D względem prostej AB i punktu A. Przypadek, który opisałeś to taki, gdy punkt D leży powyżej prostej AB (jeżeli normalnie narysujemy trójkąt ABC z podstawą AB na dole) , wtedy wystarczy \(\displaystyle{ x< 30 ^{o}}\).
Drugi przypadek, D leży na prostej AB, wtedy \(\displaystyle{ x= 120 ^{o}}\).
Trzeci przypadek, D leży poniżej prostej AB i na lewo od A, wtedy \(\displaystyle{ 120 ^{o} <x<170 ^{o}}\).
Czwarty przypadek, D leży poniżej prostej AB i na prawo od A, wtedy \(\displaystyle{ 60 ^{o}<x<170 ^{o}}\)
Czyli razem ...
Co ty na to?

[tometomek91]

Tak, nie rozumiem tylko trzeciego przypadku, punkt D leży na prawo od A.. ?

[kropka+]

Względem prostej AC można narysować dwie proste przechodzące przez C i tworzące z nią kąt \(\displaystyle{ 10 ^{o}}\) - jedna prosta omija A z lewej a druga w tej samej odległości z prawej strony A. Wtedy D jest na prawo od A i poniżej AB.

[tometomek91]

ok, a dalczego rozwiązań nieskończenie wiele?

[kropka+]

No bo jeżeli to jest dobrze to x należy do sumy pewnych przedziałów zawierających nieskończenie wiele kątów.