Hej,
nie wiem, czy dobrze rozwiązuję to zadanie:
Niech X to podprzestrzeń \(\displaystyle{ l_3^ \infty}\) złożona z wektorów (x,y,z). Te wektory spełniają równanie: x +y-z = 0. Niech L to funkcjonał liniowy na \(\displaystyle{ l_3^ \infty}\) zadany wzorem:
\(\displaystyle{ L(x,y,z) = x+3y - 5z.}\) Obliczyć normę obcięcia funkcjonału L do X. Niech \(\displaystyle{ l_3^ \infty}\) to przestrzeń Banacha o kuli jednostkowej \(\displaystyle{ [-1,1]^3}\).
Jeśli chodzi o rozwiązanie, to znalazłam najpierw przestrzeń prostopadłą do X (niech będzie to \(\displaystyle{ X_p}\)), wtedy \(\displaystyle{ X_p = lin\{(1,1,2)\}}\) (wynika to z tego, że x + y - z = 0, po wstawieniu daje nam zero).
Następnie rozpisałam:
\(\displaystyle{ ||L||^2 = ||P_{X_p}L||^2 + ||P_{X}L||^2}\) , gdzie P to rzut na przestrzeń \(\displaystyle{ X_p}\) lub X (korzystam, że cała przestrzeń to suma prosta X i \(\displaystyle{ X_p}\))
I dalej wzięłam się za liczenie normy dla \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ X_p}\), potem odjęłam i pierwiastek. Czy ogólnie sama metoda jest ok? Czy jak to inaczej trzeba zrobić?
Obcinanie funkcjonału
-
Piotr Pstragowski
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
Obcinanie funkcjonału
Ja widzę dwa problemy - ale nie jestem szczególnie rewelacyjny z analizy.
Po pierwsze, jeśli Twoja przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) to przestrzeń wektorów spełniających \(\displaystyle{ x+y-z=0}\), to wektor, który policzyłeś jako należący do przestrzeni prostopadłej należy do \(\displaystyle{ X}\), więc nie jest do niej prostopadły.
Po drugie, od argumentów związanych z przestrzenią prostopadłą raczej bym się powstrzymał, bo Twoja norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego, więc pojęcie prostopadłości jest w niej dość kłopotliwe.
Może spróbuj to zrobić na palcach, z definicji normy operatora. Niech Twój \(\displaystyle{ L: X \rightarrow R}\), to
\(\displaystyle{ |L| = sup(|x+3y-5z|)}\)
, gdzie \(\displaystyle{ sup}\) przebiega po
\(\displaystyle{ x+y-z=0}\) oraz \(\displaystyle{ max(|x|,|y|,|z|)=1}\).
(Pierwszy warunek to ograniczenie do \(\displaystyle{ X}\), drugi to ograniczenie do kuli jednostkowej.)
Po pierwsze, jeśli Twoja przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) to przestrzeń wektorów spełniających \(\displaystyle{ x+y-z=0}\), to wektor, który policzyłeś jako należący do przestrzeni prostopadłej należy do \(\displaystyle{ X}\), więc nie jest do niej prostopadły.
Po drugie, od argumentów związanych z przestrzenią prostopadłą raczej bym się powstrzymał, bo Twoja norma nie pochodzi od iloczynu skalarnego, więc pojęcie prostopadłości jest w niej dość kłopotliwe.
Może spróbuj to zrobić na palcach, z definicji normy operatora. Niech Twój \(\displaystyle{ L: X \rightarrow R}\), to
\(\displaystyle{ |L| = sup(|x+3y-5z|)}\)
, gdzie \(\displaystyle{ sup}\) przebiega po
\(\displaystyle{ x+y-z=0}\) oraz \(\displaystyle{ max(|x|,|y|,|z|)=1}\).
(Pierwszy warunek to ograniczenie do \(\displaystyle{ X}\), drugi to ograniczenie do kuli jednostkowej.)