Proszę o rozwiązanie następujących różniczek:
a)
\(\displaystyle{ y'-\frac{1}{1+x^2} \cdot y= \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e^{ \arc\tg x }}\)
b)
\(\displaystyle{ y'+ \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot y=e^{ \ctg x }}\)
c)
\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{2 \sqrt{x} }= \tg x \cdot e ^{ \sqrt{x} }}\)
d)
\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{2 \sqrt{x} }=\sqrt{x} \cdot e ^{ \sqrt{x} }}\)
Równanie różniczkowe I rzędu.
-
szw1710
Równanie różniczkowe I rzędu.
Wszystkie równania są liniowe I rzędu. W wyznaczaniu CORJ mamy prościutkie całki, w CSRN (na oko, bo nie liczyłem), całkowanie przez podstawienie.
-
Syn
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 5 wrz 2011, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piekło
- Podziękował: 1 raz
Równanie różniczkowe I rzędu.
Do kasacji, błąd.
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2011, o 16:23 przez Anonymous, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Powinieneś ten błąd poprawić i już. Po kasacji tok dyskusji będzie zaburzony.
Powód: Powinieneś ten błąd poprawić i już. Po kasacji tok dyskusji będzie zaburzony.
-
Syn
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 5 wrz 2011, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piekło
- Podziękował: 1 raz
Równanie różniczkowe I rzędu.
\(\displaystyle{ y=e ^{ \ctg x } \cdot C\\
y'=(e ^{ \ctg x })' \cdot C+e ^{ \ctg x } \cdot C'\\
(e ^{ \ctg x })' \cdot C+e ^{ \ctg x } \cdot C' + \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e ^{ \ctg x } \cdot C=e ^{ \ctg x }}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e ^{ \ctg x } \cdot C+e ^{ \ctg x } \cdot C' + \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e ^{ \ctg x } \cdot C=e ^{ \ctg x }}\)
\(\displaystyle{ e ^{ \ctg x } \cdot C'=e ^{ \ctg x }}\)
\(\displaystyle{ C=\int 1dx}\)
\(\displaystyle{ C=x}\)
Dobrze?
y'=(e ^{ \ctg x })' \cdot C+e ^{ \ctg x } \cdot C'\\
(e ^{ \ctg x })' \cdot C+e ^{ \ctg x } \cdot C' + \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e ^{ \ctg x } \cdot C=e ^{ \ctg x }}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e ^{ \ctg x } \cdot C+e ^{ \ctg x } \cdot C' + \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e ^{ \ctg x } \cdot C=e ^{ \ctg x }}\)
\(\displaystyle{ e ^{ \ctg x } \cdot C'=e ^{ \ctg x }}\)
\(\displaystyle{ C=\int 1dx}\)
\(\displaystyle{ C=x}\)
Dobrze?
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2011, o 08:36 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj \ctg itp.
Powód: Stosuj \ctg itp.
-
Syn
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 5 wrz 2011, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piekło
- Podziękował: 1 raz
Równanie różniczkowe I rzędu.
b)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=e ^{ \ctg x } \cdot x}\)
Proszę o sprawdzenie pozostałych przykładów:
a)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} -\frac{1}{1+x^2} \cdot y= 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2} \cdot y}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=\int\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(\displaystyle{ y=e ^{\arc\tg x} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ y'=e ^{\arc\tg x} \cdot C'+\frac{1}{1+x^2} \cdot e ^{\arc\tg x} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ e ^{\arc\tg x} \cdot C'+\frac{1}{1+x^2} \cdot e ^{\arc\tg x} \cdot C-\frac{1}{1+x^2} \cdot e^{\arc\tg x} \cdot C=\frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e^{ \arc\tg x }}\)
\(\displaystyle{ C= \int\frac{1}{ \sin ^ 2x}dx}\)
\(\displaystyle{ C=-\ctg x}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=e ^{\arc\tg x} \cdot (-\ctg x)}\)
c)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - \frac{y}{2 \sqrt{x} }=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=\frac{1}{2 \sqrt{x} }dx}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dy}{y}=\int\frac{1}{2 \sqrt{x}}dx}\)
\(\displaystyle{ ln(y)= \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x}}}\)
\(\displaystyle{ ln(y)= \sqrt{x}+C}\)
\(\displaystyle{ y=e ^{\sqrt{x}} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot e ^{\sqrt{x}} \cdot C+e ^{\sqrt{x}} \cdot C'}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot e ^{\sqrt{x}} \cdot C+e ^{\sqrt{x}} \cdot C'-\frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot e ^{\sqrt{x}} \cdot C=\tg x \cdot e ^{ \sqrt{x} }}\)
\(\displaystyle{ C= \int\tg x dx}\)
\(\displaystyle{ C= \int \frac{\sin x}{cos x} dx}\)
\(\displaystyle{ \cos x=t}\)
\(\displaystyle{ -\sin x dx=dt}\)
\(\displaystyle{ C= -\int \frac{1}{t} dt}\)
\(\displaystyle{ C=-ln(t)=-ln(\cos x)}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=e ^{\sqrt{x}} \cdot (-ln(\cos x))}\)
d) Analogicznie do c), różnica tylko w C:
\(\displaystyle{ C= \int \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ C= \frac{2x ^{ \frac{3}{2} } }{3}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=e ^{\sqrt{x}} \cdot \frac{2x ^{ \frac{3}{2} } }{3}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=e ^{ \ctg x } \cdot x}\)
Proszę o sprawdzenie pozostałych przykładów:
a)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} -\frac{1}{1+x^2} \cdot y= 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2} \cdot y}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=\int\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(\displaystyle{ y=e ^{\arc\tg x} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ y'=e ^{\arc\tg x} \cdot C'+\frac{1}{1+x^2} \cdot e ^{\arc\tg x} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ e ^{\arc\tg x} \cdot C'+\frac{1}{1+x^2} \cdot e ^{\arc\tg x} \cdot C-\frac{1}{1+x^2} \cdot e^{\arc\tg x} \cdot C=\frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e^{ \arc\tg x }}\)
\(\displaystyle{ C= \int\frac{1}{ \sin ^ 2x}dx}\)
\(\displaystyle{ C=-\ctg x}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=e ^{\arc\tg x} \cdot (-\ctg x)}\)
c)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - \frac{y}{2 \sqrt{x} }=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=\frac{1}{2 \sqrt{x} }dx}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dy}{y}=\int\frac{1}{2 \sqrt{x}}dx}\)
\(\displaystyle{ ln(y)= \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x}}}\)
\(\displaystyle{ ln(y)= \sqrt{x}+C}\)
\(\displaystyle{ y=e ^{\sqrt{x}} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot e ^{\sqrt{x}} \cdot C+e ^{\sqrt{x}} \cdot C'}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot e ^{\sqrt{x}} \cdot C+e ^{\sqrt{x}} \cdot C'-\frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot e ^{\sqrt{x}} \cdot C=\tg x \cdot e ^{ \sqrt{x} }}\)
\(\displaystyle{ C= \int\tg x dx}\)
\(\displaystyle{ C= \int \frac{\sin x}{cos x} dx}\)
\(\displaystyle{ \cos x=t}\)
\(\displaystyle{ -\sin x dx=dt}\)
\(\displaystyle{ C= -\int \frac{1}{t} dt}\)
\(\displaystyle{ C=-ln(t)=-ln(\cos x)}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=e ^{\sqrt{x}} \cdot (-ln(\cos x))}\)
d) Analogicznie do c), różnica tylko w C:
\(\displaystyle{ C= \int \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ C= \frac{2x ^{ \frac{3}{2} } }{3}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=e ^{\sqrt{x}} \cdot \frac{2x ^{ \frac{3}{2} } }{3}}\)