Mam takie zadanie i wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi.
Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: \(\displaystyle{ z=6-x^{2}-y^{2} \\ z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)
Przeszedłem na współrzędne walcowe:
\(\displaystyle{ z = 6- r^{2} \\ z = \sqrt{r^{2}} = |r|}\)
Policzyłem dla jakiego r się te dwie funkcje przecinają:
\(\displaystyle{ 6-r^{2}= r \\ r= \frac{1+ \sqrt{5} }{-2} \ \ \ \ i \ \ \ \ r= \frac{1- \sqrt{5} }{-2}}\)
Z tego ustalam granice całkowania:
\(\displaystyle{ r \le z \le 6-r^{2} \\ 0 \le r \le \frac{1- \sqrt{5} }{-2} \\ 0 \le \phi \le 2 \pi}\)
Z tego liczę całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{\frac{1- \sqrt{5} }{-2}} \left( \int_{r}^{6-r^{2}} r\,\text dz \right) \,\text dr \right) \,\text d\phi}\)
Niestety po obliczeniu tego wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac {103 - 37\sqrt{5}}{12} \pi}\) zaś w odpowiedzi jest: \(\displaystyle{ \frac{44}{3}\pi}\)
Co robię źle?
