Wlasnosci funkcji - udowdnic.
-
- Użytkownik
- Posty: 383
- Rejestracja: 10 mar 2009, o 22:56
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Wlasnosci funkcji - udowdnic.
Udowodnij, ze jezeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) (dziedzina i zbior wartosci: \(\displaystyle{ R}\)) spelnia dla kazdej liczby nierownosci:
\(\displaystyle{ f(x+3) \le f(x)+3}\)
\(\displaystyle{ f(x+2) \ge f(x)+2}\),
to funkcja \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x}\) jest okresowa.
\(\displaystyle{ f(x+3) \le f(x)+3}\)
\(\displaystyle{ f(x+2) \ge f(x)+2}\),
to funkcja \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x}\) jest okresowa.
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wlasnosci funkcji - udowdnic.
Z pierwszej nierówności: \(\displaystyle{ g(x+6)=g((x+3)+3) \le ...}\)
Z drugiej nierówności: \(\displaystyle{ g(x+6) =g((x+4)+2)\ge ...}\)
Postaraj się dokończyć.
Z drugiej nierówności: \(\displaystyle{ g(x+6) =g((x+4)+2)\ge ...}\)
Postaraj się dokończyć.
-
- Użytkownik
- Posty: 383
- Rejestracja: 10 mar 2009, o 22:56
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Wlasnosci funkcji - udowdnic.
No wlasnie tak zrobilam i :
\(\displaystyle{ f(x+6) \le f(x+3)+3}\)
\(\displaystyle{ f(x+6) \ge f(x+2)+4}\)
Czyli:\(\displaystyle{ f(x+2)+4-x-6 \le g(x+6) \le f(x+3)+3-x-6}\)
\(\displaystyle{ f(x+2)-(x+2) \le g(x+6) \le f(x+3)-(x+3)}\)
\(\displaystyle{ g(x+2) \le g(x+6) \le g(x+3)}\).
I co dalej?
\(\displaystyle{ f(x+6) \le f(x+3)+3}\)
\(\displaystyle{ f(x+6) \ge f(x+2)+4}\)
Czyli:\(\displaystyle{ f(x+2)+4-x-6 \le g(x+6) \le f(x+3)+3-x-6}\)
\(\displaystyle{ f(x+2)-(x+2) \le g(x+6) \le f(x+3)-(x+3)}\)
\(\displaystyle{ g(x+2) \le g(x+6) \le g(x+3)}\).
I co dalej?
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wlasnosci funkcji - udowdnic.
Teraz rozpisz dalej pierwszą nierówność korzystając z 1. zależności oraz drugą korzystając z drugiej zależności.No wlasnie tak zrobilam i :
\(\displaystyle{ f(x+6) \le f(x+3)+3\\
f(x+6) \ge f(x+2)+4}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 383
- Rejestracja: 10 mar 2009, o 22:56
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Wlasnosci funkcji - udowdnic.
Czyli ostatecznie mam dosjc do rownosci: \(\displaystyle{ g(x+6)=g(x)}\) dla kazdego \(\displaystyle{ x \in R}\). A to znaczy ze jest okresowa?
Bo tak mi wyszlo?
Bo tak mi wyszlo?