Równanie różniczkowe II rzędu liniowe

[jarzynazeszczecina]

Witam,

Nie wiem co robię źle w tym równaniu

lewa strona:
\(\displaystyle{ y''-4y'+4y=xe^{2x}\\
\Delta =0\\
y_{j}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{2x}}\)
prawa strona wziąłem stopień drugi bo częśc zawierała się w \(\displaystyle{ y_{j}}\)
\(\displaystyle{ y_{p}=(Ax^2+Bx+C)e^{2x}\\
y'_{p}=e^{2x}(2Ax^2+2Bx+2C+2Ax+B)\\
y''_{p}=e^{2x}(4Ax^2+4Bx+4C+4Ax+2B)+e^{2x}(4Ax+2B+2A)}\)
Po podstawieniu do równania wychodzę na takie coś:
\(\displaystyle{ 4Ax^2+4Bx+4C+4Ax+2B+4Ax+2B+2A-8Ax^2-8Bx-8C-8Ax-4B+4Ax^2+4Bx+4C=x}\)

Wszystko się skraca i zgłupiałem...

Pozdrawiam

[lukasz1804]

Witam,

Nie wiem co robię źle w tym równaniu

lewa strona:
\(\displaystyle{ y''-4y'+4y=xe^{2x}\\
\Delta =0\\
y_{j}=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{2x}}\)

Tu się zatrzymajmy. Równanie charakterystyczne jest postaci \(\displaystyle{ t^2-4t+4=0}\) i ma jeden pierwiastek podwójny \(\displaystyle{ t_0=2}\). Zatem dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania jednorodnego są \(\displaystyle{ e^{2x}}\) oraz \(\displaystyle{ xe^{2x}}\). Wobec tego \(\displaystyle{ y_{j}=C_{1}e^{2x}+C_{2}xe^{2x}}\).

[jarzynazeszczecina]

Oczywiście masz rację, tak też zapisałem w zeszycie tylko tu nie dopisałem ixa
\(\displaystyle{ y_{j}=C_{1}e^{2x}+C_{2}xe^{2x}}\)
Jednak to nie ma większego znaczenia, przy tym sajgonie co jest dalej

[lukasz1804]

Może warto wypróbować (zawsze skuteczną) metodę uzmienniania stałych? Metoda przewidywań czasem bywa taką "ślepą uliczką".

[jarzynazeszczecina]

Nie umiem metody uzmienniania stałych i wydaje mi się że ten przykład jest typowy dla przewidywania, choc może się mylę.

EDIT:

Pewnie byłoby łatwiej (jakbym umiał) metodą uzmienniania stałych, ale poradziłem sobie zwiększając wielomian jeszcze o jeden stopień już mi dobrze wyszło