Udowodnij podzielnosc przez 83
-
- Użytkownik
- Posty: 1106
- Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: toruń
- Pomógł: 153 razy
Udowodnij podzielnosc przez 83
Skorzystaj z rozwinięcie newtona i z tego, że \(\displaystyle{ {83 \choose k}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 83}\) dla \(\displaystyle{ k \in \{2,...,82 \}}\). pozdrawiam!
-
- Użytkownik
- Posty: 1106
- Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: toruń
- Pomógł: 153 razy
Udowodnij podzielnosc przez 83
Zobacz jak wygląda rozwinięcie dwumianowe i z tego wyciągnij odpowiednie wnioski. Prawie wszystkie składniki będą podzielne przez \(\displaystyle{ 83}\) z tego co napisałem wyżej,a te które nie są podzielne skrócą się:)
-
- Użytkownik
- Posty: 1106
- Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: toruń
- Pomógł: 153 razy
Udowodnij podzielnosc przez 83
jak rozwiniesz \(\displaystyle{ (2 \cdot 5^7-5\cdot 2^7)^83}\) to skrócą Ci się pierwszy i ostatni składnik, a reszta będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 83}\) z uwagi którą napisałem na samym początku.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Udowodnij podzielnosc przez 83
Stosując Małe Twierdzenie Fermata otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}) ^{83}-(2 \cdot 5 ^{7}) ^{83}+(5 \cdot 2 ^{7}) ^{83} \equiv 2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}-2 \cdot 5 ^{7}+5 \cdot 2 ^{7} \equiv 0 \ \left( mod \ 83\right)}\), gdyż \(\displaystyle{ 83}\) jest liczbą pierwszą. A to w łatwy sposób kończy dowód.
\(\displaystyle{ (2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}) ^{83}-(2 \cdot 5 ^{7}) ^{83}+(5 \cdot 2 ^{7}) ^{83} \equiv 2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}-2 \cdot 5 ^{7}+5 \cdot 2 ^{7} \equiv 0 \ \left( mod \ 83\right)}\), gdyż \(\displaystyle{ 83}\) jest liczbą pierwszą. A to w łatwy sposób kończy dowód.
-
- Użytkownik
- Posty: 383
- Rejestracja: 10 mar 2009, o 22:56
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Udowodnij podzielnosc przez 83
Ok, zrobilam korzystajac z tego. Ale jak udowodnic powyzsze?mateuszek89 pisze: \(\displaystyle{ {83 \choose k}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 83}\) dla \(\displaystyle{ k \in \{2,...,82 \}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 569
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BK
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 40 razy
Udowodnij podzielnosc przez 83
Niech p będzie liczba pierwszą.
\(\displaystyle{ {p \choose k}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot p}{k! \cdot (p-k)!}}\)
Wiadomo że ta liczba jest całkowita. W liczniku mamy mnożenie przez \(\displaystyle{ p}\). Jeśli ta liczba nie miałaby być podzielna przez \(\displaystyle{ p}\), to to \(\displaystyle{ p}\) z licznika musiało by się jakoś skrócić z mianownikiem. Jako że p jest pierwsze, więc skrócić mogłoby się tylko przez \(\displaystyle{ p}\) w mianowniku ale jako że \(\displaystyle{ 2 \le k \le p-1}\), to wszystkie czynniki tych dwóch silni to liczby mniejsze od \(\displaystyle{ p}\), więc skrócic się nie mogło, czyli wyjściowa liczba jest podzielna przez to nieszczęsne \(\displaystyle{ p}\)
Chyba bardziej sie tego nie da rozpisac:P
\(\displaystyle{ {p \choose k}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot p}{k! \cdot (p-k)!}}\)
Wiadomo że ta liczba jest całkowita. W liczniku mamy mnożenie przez \(\displaystyle{ p}\). Jeśli ta liczba nie miałaby być podzielna przez \(\displaystyle{ p}\), to to \(\displaystyle{ p}\) z licznika musiało by się jakoś skrócić z mianownikiem. Jako że p jest pierwsze, więc skrócić mogłoby się tylko przez \(\displaystyle{ p}\) w mianowniku ale jako że \(\displaystyle{ 2 \le k \le p-1}\), to wszystkie czynniki tych dwóch silni to liczby mniejsze od \(\displaystyle{ p}\), więc skrócic się nie mogło, czyli wyjściowa liczba jest podzielna przez to nieszczęsne \(\displaystyle{ p}\)
Chyba bardziej sie tego nie da rozpisac:P