Obliczyć całkę krzywolinniową.

[gobi12]

Oblicz całkę:
\(\displaystyle{ \oint (xy^{2} -x arctgy)dx+(yx^{2}+yln(1+y))dy}\) Gdzie L jest brzegiem trójkąta O=(0,0); A=(1,1); B=(0,1) zorientowanym dodatnio.

\(\displaystyle{ P=(xy^{2} -x arctgy) \ \ \ \ \ Q= (yx^{2}+yln(1+y)) \\
\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x} = 2xy \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{ \partial P}{ \partial y} = 2xy - \frac{x}{1+x^{2}}

\\ \\ \\
\\
\int_{0}^{1} ( \int_{x}^{1} (2xy - 2xy + \frac{x}{1+x^{2}} ) dy)dx}\)

Moje pytanie brzmi czy rozwiązanie ma polegać tylko na policzeniu takiej całki i czy to wszytko powyżej jest dobrze.

[szw1710]

Czy coś Ci się w tej całce nie upraszcza? Popraw obliczenie drugiego składnika w \(\displaystyle{ P'_y.}\) Tak, wystarczy wyliczyć całkę podwójną - tw. Greena.

[gobi12]

\(\displaystyle{ P=(xy^{2} -x arctgy) \ \ \ \ \ Q= (yx^{2}+yln(1+y))}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{ \partial x} = 2xy \\}\)



\(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y} = 2xy - \frac{x}{1+y^{2}}}\)


\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} ( \int_{x}^{1} ( \frac{x}{1+y^{2}} ) dy)dx}\)

[szw1710]

Tak jest, teraz oblicz tę całkę.

[gobi12]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} ( \int_{x}^{1} ( \frac{x}{1+y^{2}} ) dy)dx}\)

\(\displaystyle{ x \int \frac{1}{1+y^{2}} dy = x arctgx + C \\

x \int_{x}^{1} \frac{1}{1+y^{2}} dy = x arctg(1) - x arctgx \\

\int ( x arctg(1) - x arctgx) dx = \frac{\pi}{4} \int x dx - \int x arctg dx = \frac{\pi}{8}x^{2} - \int x arctg dx \\

\int x arctgx dx= \frac{1}{2} x^{2} arctgx - \int \frac{x^{2}}{2(1+x^{2})} dx = \frac{1}{2} x^{2} arctgx - \frac{1}{2} \int (1- \frac{1}{1+x^{2}}) dx = \frac{1}{2} x^{2} arctgx -\frac{1}{2} (\int dx - \int \frac {1}{1+x^2} dx ) = \frac{1}{2} x^{2} arctgx - \frac{1}{2} (x - arctgx) + C \\

\int_{0}^{1} ( \int_{x}^{1} ( \frac{x}{1+y^{2}} ) dy)dx = \frac {4-\pi}{8}}\)

Tak licząc na szybko to coś takiego mi wyszło.

[szw1710]

Świetnie.