Analiza, ekstrema lokalne funkcji

[Timbus]

Witam!

Mam zadanie treści: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=3+2x+2y-2x ^{2} -2xy-y ^{2}}\)

Chodzi mi tylko o to aby ktoś sprawdził czy dobrze zrobiłem to zadanie bo muszę mieć 100% pewności.

Moje wyniki:
Punkt \(\displaystyle{ P(0,0)}\)
\(\displaystyle{ W(x,y)=4}\)
W punkcie \(\displaystyle{ 4}\) istnieje ekstremum
w punkcie \(\displaystyle{ -4}\) istnieje maksimum
\(\displaystyle{ f(max)=3}\)


Proszę o sprawdzenie czy jest dobrze. Jeśli coś będzie się nie zgadzać rozpiszę całe zadanie krok po kroku.

Pozdrawiam!

[miki999]

Podaj obliczenia, to ktoś sprawdzi.

[Timbus]

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = 2-4x-2y \\ \\
\frac{ \partial f}{ \partial y} = 2-2x-2y \\ \\
2-4x-2y=0 \\
2-2x-2y=0}\)

czyli:

\(\displaystyle{ -2x-y=0 \\
-x-y=0}\)

\(\displaystyle{ x=-y}\) ; czyli \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ x =0}\)



\(\displaystyle{ W(x,y)=-4 \cdot (-2)-(-2) ^{2} \\
W(x,y)=4}\)

\(\displaystyle{ W(0,0)=4}\) - w tym punkcie istnieje ekstremum.


\(\displaystyle{ \frac{ \partial^{2} f (0,0) }{ \partial x^{2} } = -4 \\ \\

f(max)=f(0,0)=3}\)

[loitzl9006]

Źle jest ten układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x-y=0 \\ -x-y=0 \end{cases}}\)

Popraw go. Pochodne policzyłeś dobrze.

[Timbus]

\(\displaystyle{ x=1}\); \(\displaystyle{ y=-1}\) ?

[loitzl9006]

Nie. Powoli.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 -2x-y=0 \\ 2 -x-y=0 \end{cases}}\)

Rozwiąż ten układ równań, np metodą przeciwnych współczynników.

[Timbus]

Teraz wychodzi mi x=0, y=2. Ale dlaczego

\(\displaystyle{ 2-2x-y=0}\)
\(\displaystyle{ 2-x-y=0}\)

Czy skoro skracamy przez 2 nie powinniśmy również skrócić tej 2 na samym początku?

[loitzl9006]

Czy skoro skracamy przez 2 nie powinniśmy również skrócić tej 2 na samym początku?

Jasne, że powinniśmy. Mój błąd. Powinno być zatem (po skróceniu przez \(\displaystyle{ 2}\)) :

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 -2x-y=0 \\ 1 -x-y=0 \end{cases}}\)

[Timbus]

czyli w takim wypadku \(\displaystyle{ x=0}\) a \(\displaystyle{ y=1}\), tak?

[loitzl9006]

tak

[Timbus]

Czyli idąc dalej tym tropem w sumie reszta zostaje taka sama jak wcześniej tylko \(\displaystyle{ f(max)}\) zmienia się na \(\displaystyle{ 4}\), tak?

[loitzl9006]

Dokładnie jest tak, jak piszesz. wstawiamy do funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)}\) :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}}\)

Otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x _{0};y _{0})=f(0;1)=f(max)=4}\)

[Timbus]

Ok dziękuję Ci bardzo za pomoc.

Pozdrawiam.