1. Powołując się na tw. Greena udowodnić, że pole obszaru ograniczonego krzywą równa się:
\(\displaystyle{ |D|= \frac{1}{2} \oint -y \mbox{d}x + x \mbox{d}y}\)
2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą:
\(\displaystyle{ K: \begin{cases} x=2 \cos t - \cos ( 2t)\\y=2 \sin t - \sin ( 2t)\end{cases} \\
t \in \left<0, 2 \pi \right)}\)
Kompletnie nie umiem tego udowodnić, zaś w zadaniu drugim nie za bardzo wiem, co zrobić z parametrem t. Proszę o pomoc.
Pole obszaru ograniczonego krzywą
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 6 razy
Pole obszaru ograniczonego krzywą
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 23:31 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji trygonometrycznych.
Powód: Poprawa zapisu funkcji trygonometrycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Pole obszaru ograniczonego krzywą
ad. 1
Podstaw wprost do wzoru Greena
ad. 2
Tutaj też masz gotowy wzór.
Podstaw wprost do wzoru Greena
ad. 2
Tutaj też masz gotowy wzór.
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Pole obszaru ograniczonego krzywą
Tylko podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ |D| = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi } x \mbox{d}y - y \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ |D| = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi } x \mbox{d}y - y \mbox{d}x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 6 razy
Pole obszaru ograniczonego krzywą
\(\displaystyle{ |D| = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi } x \mbox{d}y - y \mbox{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }
[(2\cos(t) - \cos(2t))(2\cos(t)-2\cos(2t))-(2\sin(t)-\sin(2t))(-2\sin(t)+2\sin(2t))]dt}\)
Tak?
Czy mógłbyś jeszcze coś podpowiedzieć co do pierwszej części? Co mam wstawić do greena.
[(2\cos(t) - \cos(2t))(2\cos(t)-2\cos(2t))-(2\sin(t)-\sin(2t))(-2\sin(t)+2\sin(2t))]dt}\)
Tak?
Czy mógłbyś jeszcze coś podpowiedzieć co do pierwszej części? Co mam wstawić do greena.
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Pole obszaru ograniczonego krzywą
Dobrze podstawiłeś.
A co do pierwszego:
\(\displaystyle{ P = -y \\
Q = x}\)
A co do pierwszego:
\(\displaystyle{ P = -y \\
Q = x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 6 razy
Pole obszaru ograniczonego krzywą
Dla \(\displaystyle{ P=-y \ \ \ Q=x}\)
\(\displaystyle{ \iint ( \frac{ \partial Q}{ \partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} )dxdy =2 \iint dxdy}\)
To o coś takiego chodzi?
\(\displaystyle{ \iint ( \frac{ \partial Q}{ \partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} )dxdy =2 \iint dxdy}\)
To o coś takiego chodzi?
-
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
Pole obszaru ograniczonego krzywą
Tak. Tylko uwzględnij tę \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przed całką