Pole obszaru ograniczonego krzywą

[gobi12]

1. Powołując się na tw. Greena udowodnić, że pole obszaru ograniczonego krzywą równa się:
\(\displaystyle{ |D|= \frac{1}{2} \oint -y \mbox{d}x + x \mbox{d}y}\)
2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą:
\(\displaystyle{ K: \begin{cases} x=2 \cos t - \cos ( 2t)\\y=2 \sin t - \sin ( 2t)\end{cases} \\
t \in \left<0, 2 \pi \right)}\)

Kompletnie nie umiem tego udowodnić, zaś w zadaniu drugim nie za bardzo wiem, co zrobić z parametrem t. Proszę o pomoc.

[aalmond]

ad. 1
Podstaw wprost do wzoru Greena
ad. 2
Tutaj też masz gotowy wzór.

[gobi12]

Ad2. Nie wiem jak sobie poradzić z tymi parametrami.

[aalmond]

Tylko podstawić do wzoru:

\(\displaystyle{ |D| = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi } x \mbox{d}y - y \mbox{d}x}\)

[gobi12]

\(\displaystyle{ |D| = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi } x \mbox{d}y - y \mbox{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi }
[(2\cos(t) - \cos(2t))(2\cos(t)-2\cos(2t))-(2\sin(t)-\sin(2t))(-2\sin(t)+2\sin(2t))]dt}\)

Tak?

Czy mógłbyś jeszcze coś podpowiedzieć co do pierwszej części? Co mam wstawić do greena.

[aalmond]

Dobrze podstawiłeś.
A co do pierwszego:

\(\displaystyle{ P = -y \\
Q = x}\)

[gobi12]

Dla \(\displaystyle{ P=-y \ \ \ Q=x}\)

\(\displaystyle{ \iint ( \frac{ \partial Q}{ \partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} )dxdy =2 \iint dxdy}\)

To o coś takiego chodzi?

[aalmond]

Tak. Tylko uwzględnij tę \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przed całką