wartości własne i wektory własne

[anetaaneta1]

Obliczyć wektory własne i wartości własne macierzy określonych nad ciałem liczb zespolonych

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}5& 6&-3 \\ -1&0&1 \\ 1&2&-1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}0& a& \\ -a&0& \end{bmatrix}}\)

mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to się liczy bo tam są liczby zespolone.
Wiem jak się wylicza wartości własne i wektory własne ale nie wiem jak z liczbami zespolonymi bo wynik mi nie wychodzi

[Piotr Pstragowski]

Dokładnie tak samo. Wartości własne to pierwiastki wielomianu charakterystycznego.

[anetaaneta1]

ale w tym drugim przykładzie wyliczyłam wyznacznik i wyszegł mi \(\displaystyle{ \lambda^{2}+a^{2}}\)i jak mam wyliczyć to \(\displaystyle{ \lambda}\) bo w odpowiedziach jest wynik \(\displaystyle{ \lambda=ai}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-ai}\)

[ares41]

\(\displaystyle{ \lambda^{2}+a^{2}=0 \\\lambda^{2}=-a^{2}\\\lambda= \sqrt{-a^2} \vee \lambda= -\sqrt{-a^2} \\\lambda=a \sqrt{-1} \vee \lambda= -a\sqrt{-1} \\\lambda=ai \vee \lambda= -ai}\)

pozdrawiam

[anetaaneta1]

a jak teraz te wektory wyliczyć???

[bartek118]

Jaka jest definicja wektora własnego należącego do danej wartości własnej?

[anetaaneta1]

podstawiamy za \(\displaystyle{ \lambda}\) pierwszą wartość do macierzy i mnożymy przez macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1& \\ x_2& \end{bmatrix}}\) i przyrównujemy do zera ale niewiem potem jak wyliczyć to \(\displaystyle{ x_1 i x_2}\)

[bartek118]

no to zrób tak - wymnóż te macierze i wyjdzie Ci układ równań

[anetaaneta1]

wyszły mi 2 równanie \(\displaystyle{ -aix_1+ax_2=0 i -ax_1-aix_2=0}\) i po wyliczeniu wyszło mi żę \(\displaystyle{ x_1=0 a x_2=-ix_1}\) a w odpowiedziach jest wynik \(\displaystyle{ x_1=c(1,i) x_2=c(1,-i) c\inC}\)

[bartek118]

To powinno być tak:

\(\displaystyle{ A\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \lambda \cdot \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}}\)

[anetaaneta1]

ale ja liczyłam z definicji \(\displaystyle{ AX= \lambda X}\)
\(\displaystyle{ (A- \lambda I)X=0}\)
i wyliczyłam macierz\(\displaystyle{ (A- \lambda I)}\) mnoże ją przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}}\) i przyrównuje do zera
nie można tak ???

[bartek118]

Ale to chyba nie ta definicja. Podałem przed chwilą definicję

[anetaaneta1]

a ta jest zał ??? bo na ćwiczeniach tak liczyliśmy
tylko w tym zadaniu mam problem z liczbami zespolonymi

[bartek118]

Na liczbach zespolonych liczy się tak samo jak na rzeczywistych wszystko właściwie, trzeba tylko uwzględniać, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\)

[anetaaneta1]

ale ja liczyłam z definicji \(\displaystyle{ AX= \lambda X}\)
\(\displaystyle{ (A- \lambda I)X=0}\)
i wyliczyłam macierz\(\displaystyle{ (A- \lambda I)}\) mnoże ją przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}}\) i przyrównuje do zera
nie można tak ???

A to rozumowanie jest złe ???