\(\displaystyle{ x \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } + x\tg \left( \frac{y}{x} \right) =y}\)
przekształcam do postaci równania jednorodnego dzieląc przez x
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } + \tg \left( \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x}=0}\)
dalej podstawienie, całkowanie równania i otrzymuje wynik
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{C}{x}}\)
Jak podstawić wynik do równania i sprawdzić czy sie zgadza ?
Proszę o pomoc
Równanie jednorodne
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 3 gru 2010, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nieznana
- Podziękował: 16 razy
Równanie jednorodne
tzn. \(\displaystyle{ y=x\arcsin \left( \frac{C}{x} \right)}\) ??
Podstawilem to i wyszlo ostatecznie \(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{C}{x} \right) =\arctan \left( \frac{C}{ \sqrt{x ^{2} -C ^{2} } } \right)}\)
Podstawilem to i wyszlo ostatecznie \(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{C}{x} \right) =\arctan \left( \frac{C}{ \sqrt{x ^{2} -C ^{2} } } \right)}\)
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 23:49 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 10 razy
Równanie jednorodne
Zgodnie z zależnością pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami cyklometrycznymi, zachodzi:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{C}{x} \\
\frac{y}{x} = \arc\sin \left( \frac{C}{x} \right) \\
y(x) = x \cdot \arc\sin \left( \frac{C}{x} \right)}\)
Na nieszczęście dochodzą nam jeszcze ograniczenia:
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} \in \left[ - \frac{ \pi}{2} ; \frac{ \pi}{2} \right] \\
\frac{C}{x} \in \left[ -1; 1 \right]}\)
Pozdrawiam!
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{C}{x} \\
\frac{y}{x} = \arc\sin \left( \frac{C}{x} \right) \\
y(x) = x \cdot \arc\sin \left( \frac{C}{x} \right)}\)
Na nieszczęście dochodzą nam jeszcze ograniczenia:
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} \in \left[ - \frac{ \pi}{2} ; \frac{ \pi}{2} \right] \\
\frac{C}{x} \in \left[ -1; 1 \right]}\)
Pozdrawiam!
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 23:50 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \arc\sin
Powód: Poprawa wiadomości. \arc\sin