zbieżność szeregu

[motylanoga]

Witam
dawno nie siedzialem przy matmie i w zwiazku z tym prosze o pomoc z takim szeregiem

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)!}{(2n)^n}}\)
jade go z d'alemberta czyli mam

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{((n+1)+1)!}{(2(n+1))^n^+^1}}\)

troche sie gubie z tymi silniami moze ktos pomoc?
dzieki

[ares41]

No więc po uproszczeniu masz:
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{(n+2)!}{2^{n+1} \cdot (n+1)^{n+1}}}\)

Policz teraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)

[motylanoga]

no jakby Ci to powiedziec.. tutaj wlasnie mam problem ze nie wiem jak poskracac te silnie ale moze pokaze co mam

\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{(n+2)!}{2^{n+1} \cdot (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n)^n}{(n+1)!}}\)
czyli mam
\(\displaystyle{ \frac{n! \cdot (n+1)(n+2)}{2^n \cdot 2 \cdot (n+1)^n \cdot (n+1)} \cdot \frac{2^n \cdot n^n}{n! \cdot (n+1)}}\)

i tutaj pytanie czy to jest ok?

[ares41]

Na razie wygląda Ok (poza tym zapisem, że to wyrażenie równa się \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) )
Teraz skróć przez \(\displaystyle{ n! \cdot (n+1) \cdot 2^{n}}\)

[motylanoga]

no jasna sprawa czyli zostaje

\(\displaystyle{ \frac{(n+2) \cdot n^n}{2(n+1)^n \cdot (n+1)}}\)

i co dalej?

[ares41]

Podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^n}\) i skorzystaj z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\).

[motylanoga]

no tak to widac czyli zostaje

\(\displaystyle{ \frac{1}{e} \cdot \frac{(n+2)}{2(n+1)}}\)

czyli co wychodzi ze \(\displaystyle{ \frac{1}{2e}}\)?

[ares41]

Tak.
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{1}{2e}}\)
Jaki z tego wniosek?

[motylanoga]

yyy.. nie wiem

[ares41]

A o czym mówi kryterium d'Alemberta?

[motylanoga]

aaaa o to Ci chodzi
no ze szereg jest zbiezny

[ares41]

Tak.

[motylanoga]

ok dzieki