Wyznacz ciągłość funkcji w \(\displaystyle{ x_{0}=-1}\) w języku \(\displaystyle{ "\epsilon-\delta"}\):
\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}-4x+6}\)
Pokaże mi ktoś krok po kroku jak do tego zadania podejść?
Bardzo proszę o cierpliwość, pomoc i rozwiązanie
Ciągłość funkcji (epsilon-delta)
-
szw1710
Ciągłość funkcji (epsilon-delta)
Przez pomyłkę zbadałem ciągłość w punkcie \(\displaystyle{ x_0=1.}\) Dla \(\displaystyle{ x_0=-1}\) metoda podobna. Nie będę więc poprawiał, a Twoje właściwe zadanie zostawię Ci jako ćwiczenie.
Musisz przy ustalonym \(\displaystyle{ \varepsilon}\) dobrać \(\displaystyle{ \delta}\) przy \(\displaystyle{ x_0=1}\) czyli tak dobrać \(\displaystyle{ \delta}\) aby z tego, że \(\displaystyle{ |x-1|<\delta}\) wynikało \(\displaystyle{ |f(x)-f(1)|<\varepsilon.}\) Delty nie masz. Więc startujesz od tego drugiego:
\(\displaystyle{ |x^2-4x+6-3|<\varepsilon\\[1ex] |x^2-4x+3|<\varepsilon\\[1ex]|(x-1)^2-2(x-1)|<\varepsilon}\)
Korzystając teraz z nierówności trójkąta i zakładając, że \(\displaystyle{ |x-1|<\delta:=\frac{\varepsilon}{4}}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ |f(x)-f(1)|=|x^2-4x+3|=|(x-1)^2-2(x-1)|\le |x-1|^2+2|x-1|<\frac{\varepsilon^2}{16}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon,}\)
o ile tylko \(\displaystyle{ 0<\varepsilon<8,}\) a to wystarczy, bo chodzi o małe \(\displaystyle{ \varepsilon}\) dodatnie.
Musisz przy ustalonym \(\displaystyle{ \varepsilon}\) dobrać \(\displaystyle{ \delta}\) przy \(\displaystyle{ x_0=1}\) czyli tak dobrać \(\displaystyle{ \delta}\) aby z tego, że \(\displaystyle{ |x-1|<\delta}\) wynikało \(\displaystyle{ |f(x)-f(1)|<\varepsilon.}\) Delty nie masz. Więc startujesz od tego drugiego:
\(\displaystyle{ |x^2-4x+6-3|<\varepsilon\\[1ex] |x^2-4x+3|<\varepsilon\\[1ex]|(x-1)^2-2(x-1)|<\varepsilon}\)
Korzystając teraz z nierówności trójkąta i zakładając, że \(\displaystyle{ |x-1|<\delta:=\frac{\varepsilon}{4}}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ |f(x)-f(1)|=|x^2-4x+3|=|(x-1)^2-2(x-1)|\le |x-1|^2+2|x-1|<\frac{\varepsilon^2}{16}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon,}\)
o ile tylko \(\displaystyle{ 0<\varepsilon<8,}\) a to wystarczy, bo chodzi o małe \(\displaystyle{ \varepsilon}\) dodatnie.