Zamienić kolejność całkowania w całce iterowanej

[gobi12]

Zamienić kolejność całkowania w całce iterowanej:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \left( \int_{1- \sqrt{1-x ^{2}} }^{2-x ^{2} } f \left( x,y \right) dy \right) dx \\
y=2-x ^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ y= 1- \sqrt{1-x ^{2}} \\
x= \sqrt{2-y} \ \ \ \ \ \ \ \ \ x= \sqrt{1- \left( 1-y \right) ^{2} }\\
x= -\sqrt{2-y} \ \ \ \ \ \ \ \ \ x= - \sqrt{1- \left( 1-y \right) ^{2} }}\)
Po narysowaniu wykresów \(\displaystyle{ x=g(y)}\) zamianie kolejności całkowania

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left( \int_{-\sqrt{2-y} }^{\sqrt{2-y}} f \left( x,y \right) dx \right) dy +
\int_{1}^{2} \left( \int_{- \sqrt{1- \left( 1-y \right) ^{2} }}^{\sqrt{1- \left( 1-y \right) ^{2} }} f \left( x,y \right) dx \right) dy}\)

Moje pytanie brzmi czy dobrze to robię i czy to właśnie o coś takiego chodzi w tym zadaniu.

[Lorek]

Blisko, ale nie do końca, dla \(\displaystyle{ y\in [0,1]\ \ x}\) jest ograniczony okręgiem, a dla \(\displaystyle{ y\in[1,2]}\) parabolą, a u ciebie jest na odwrót.

[gobi12]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left( \int_{- \sqrt{1- \left( 1-y \right) ^{2} } }^{\sqrt{1- \left( 1-y \right) ^{2} }} f \left( x,y \right) dx \right) dy + \int_{1}^{2} \left( \int_{- \sqrt{2-y} }}^{ \sqrt{2-y} } f \left( x,y \right) dx \right) dy}\)

Teraz dobrze.