romb, przekątna

[maweave]

Kąt ostry rombu ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz długość krótszej przekątnej jeśli dłuższa ma długość d.

Zadanie bez gwiazdki, a ja chyba coś przekombinowałam... bo robię tak:
krótsza przekątna - x
bok - a
dłuższa przekątna - d

Z twierdzenia cos:
\(\displaystyle{ x^2 = a^2 + a^2 - 2a^2cos\alpha\\
x^2 = 2a^2 - 2a^2cos\alpha \\
x = \sqrt{2a^2(1 - cos\alpha) })\\
\frac{x}{2} = \frac{ \sqrt{2a^2(1-cos\alpha)} }{2}}\)
A teraz, z tw. pitagorasa:
\(\displaystyle{ ( \frac{x}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 = a^2}\)
No i z tego wychodzi mi...
\(\displaystyle{ a = \sqrt{ \frac{d}{2(1+cos\alpha )}}\\
x = \sqrt{ \frac{d}{2(1+cos \alpha) } } \cdot \sqrt{2(1-cos \alpha) }}\)

edit: Nie wiem czy mogę tu jakoś usunąć temat...? Bo właśnie się zorientowałam, że przecież przekątna dzieli kąt na pół i mogę to zrobić z funkcji trygonometrycznej... OMG

[lukasz1804]

Można też jeszcze nieco inaczej (tylko z twierdzenia kosinusów).
Skoro kąt ostry tego rombu ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), to kąt rozwarty ma miarę \(\displaystyle{ \pi-\alpha}\). Stąd i z twierdzenia kosinusów mamy z jednej strony \(\displaystyle{ d^2=2a^2(1-\cos(\pi-\alpha))=2a^2(1+\cos\alpha)}\), a z drugiej strony \(\displaystyle{ x^2=2a^2(1-\cos\alpha)}\). Pierwsza z tych równości daje \(\displaystyle{ 2a^2=\frac{d^2}{1+\cos\alpha}}\) a to po podstawieniu do drugiej z nich \(\displaystyle{ x^2=d^2\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\), skąd mamy

\(\displaystyle{ x=d\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}\).

[maweave]

A no rzeczywiście. Ale tak jednak dużo łatwiej:
\(\displaystyle{ tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{d}\\
x = d \cdot tg \frac{ \alpha }{2}}\)