współrzędne biegunowe

[magdagie]

Mam pytanie, trochę się pogubiłam.
zad 1 \(\displaystyle{ \iint_{D}(x^{2}+y^{2})dxdy}\)
\(\displaystyle{ D:x^{2}+y^{2} \le 2x, x^{2}+y^{2} \le 2y}\)
i teraz przechodząc na wspólrzędne biegunowe, \(\displaystyle{ x=rcos \alpha ,...}\) podstawiam pod \(\displaystyle{ 2x(x-1)=0}\) czy tylko pod któryś z okręgów?
podobnie jak zad 2 mam \(\displaystyle{ D:x^{2}+(y-1)^{2}=1,y=x}\) to podstawiam pod \(\displaystyle{ 2x(x-1)=0}\) czy tylko pod okrąg biegunowe?

[tometomek91]

\(\displaystyle{ D}\) z pierwszego zadania to część wspólna tych okręgów?

[magdagie]

\(\displaystyle{ 2x(x-1)=0}\) to jest wspólna część okręgów. w drugim tak samo \(\displaystyle{ 2x(x-1)=0}\) to jest wspólna część prostej i okręgu.

[tometomek91]

nie rozumiem.. Czym jest obszar D z pierwszego zadania?

[magdagie]

wprowadzając współrzędne bieg obliczyć podane całki... gdzie D jest obszarem ograniczonym 2 okręgami

[tometomek91]

Jeżeli to jest częśc wspólna tych dwóch okręgów, to tu jest jedno z możliwych rozwiązań (zaraz pomyśle nad biegunowymi):
\(\displaystyle{ \iint_{D}(x^{2}+y^{2})dxdy=2\int_{0}^{\sqrt{2}} dx \int_{1-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} (x^2+y^2) dy}\)

-- 3 wrz 2011, o 16:40 --

D jest ograniczony dwoma okręgami, to będzie inaczej:
Przechodzimy na biegunowe
\(\displaystyle{ x=rcos \theta\\
y=r sin \theta}\)
i \(\displaystyle{ |J|=r}\)
Obszar \(\displaystyle{ \Delta}\) (ten, na który przekształcamy D poprzez wprowadzenie biegunowych) podzieemy na dwa \(\displaystyle{ \Delta_1}\) i \(\displaystyle{ \Delta_2}\):
\(\displaystyle{ \Delta_1:\\
0 \le \theta \le \frac{3 \pi}{2}\\
0 \le r \le 2cos \theta}\)
i
\(\displaystyle{ \Delta_2:\\
0 \le \theta \le \frac{3 \pi}{2}\\
0 \le r \le 2sin \theta}\)
mamy
\(\displaystyle{ \iint_{D}(x^{2}+y^{2})dxdy= \iint_{\Delta_1}r^2|J|drd \theta +\iint_{\Delta_2}r^2|J|drd \theta+\iint_{K}(x^{2}+y^{2})dxdy}\)
gdzie K to będzie kwadratem 1x1 (narysuj sobie). Mamy dalej
\(\displaystyle{ ...=\int_{0}^{2cos \theta} dr \int_{0}^{\frac{3 \pi}{2}} r^3 d \theta+ \int_{0}^{2sin \theta} dr \int_{0}^{\frac{3 \pi}{2}} r^3 d \theta+2 \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} (x^2+y^2)dx}\)
wystarczy policzyć

[magdagie]

dobrze, a r brałeś podstawiając do czego?

[aalmond]

a \(\displaystyle{ r}\) brałeś podstawiając do czego?

Podstaw współrzędne biegunowe do nierówności.

tometomek91, granice dla kątów są na pewno takie?

[tometomek91]

tometomek91, granice dla kątów są na pewno takie?

wziałem takie, żeby było 3/4 okręgu, dlaczego takie granice są złe?

[magdagie]

dobrze, a w drugim zadaniu to biegunowe podstawiam pod \(\displaystyle{ \sqrt{1-(y-1)^{2}} =y}\) ?

[aalmond]

wziałem takie, żeby było 3/4 okręgu, dlaczego takie granice są złe?

Zwróć uwagę na to, że środki okręgów nie pokrywają się z biegunem.
Dla I okręgu:

\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2} \le \theta \le \frac{ \pi }{4}}\)

Dla II okręgu:

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \theta \le \pi}\)

[tometomek91]

aalmond, skąd to odczytać?


[edit]
mam pewne intuicje co do tego odczytywania: czy gdyby np pierwszy okrąg był dany wzorem \(\displaystyle{ x^2+(y+1)^2=1}\), to wtedy byłoby dla niego \(\displaystyle{ - \pi \le \theta \le -\frac{\pi}{2}}\) i dla drugiego: \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}}\)?

[aalmond]

skąd to odczytać?

Możesz to odczytać bezpośrednio z rysunku, albo analitycznie - rozwiązując układ nierówności. I tak np. dla pierwszego koła:

\(\displaystyle{ r = 2 \cos \theta \\
x = r \cos \theta = 2 \cos \theta \cdot \cos \theta = 2 \cos ^{2} \theta \\
y = r \sin \theta = 2 \cos \theta \cdot \sin \theta = \sin 2 \theta \\

0 \le x \le 2 \\
-1 \le y \le 1 \\

\begin{cases} 0 \le 2 \cos ^{2} \theta \le 2\\-1 \le \sin 2 \theta \le 1\end{cases}}\)-- 3 września 2011, 18:51 --

gdyby np pierwszy okrąg był dany wzorem \(\displaystyle{ x^2+(y+1)^2=1}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ \pi \le \theta \le 2 \pi}\)

[johny42]

Mam jeszcze pytanie co do tego zadania. W obliczeniach przy sumie tych 3 calek nie wiem skad wziela sie ta ostatnia. Gdy narysuje sobie wykres mam 2 okregi i prosta, jak znalezc ten kwadrat?

[tometomek91]

To jest kwadrat o wierzchołkach (0,0), (1,0), (1,1) i (0,1), nie bierzemy całych okręgów, tylko 3/4 okręgu.