Najmniejszy suma kwadratów dwóch liczb

[wilddance]

Witam, nie jestem pewien czy to odpowiedni dział jednak zadanie to jest obok innych z funkcji kwadratowej w książce, dlatego tutaj umieszczam wątek. Oto treść:
Liczbę 10 przedstaw w postaci różnicy dwóch liczb tak aby suma ich kwadratów była jak najmniejsza.
Nie mam pojęcia jak mam się zabrać do tego, proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania

[tatteredspire]

Wyznacz argument dla którego wartość funkcji kwadratowej jest najmniejsza(jedną zmienną uzależnij od innej, a jak już jedną wyliczysz, to podstaw z powrotem do drugiej).

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 10=x-y \Leftrightarrow y=x-10

f(x)=x^2+(x-10)^2}\)

[wilddance]

Nie rozumiem do końca jak powstał ten drugie wzór i co mam z nim zrobić.
Mógłbyś dać jakąś wskazówkę?

[miki999]

Ma zachodzić: \(\displaystyle{ x-y=10}\)
Dodatkowo ma być \(\displaystyle{ x^2+y^2 \rightarrow MIN}\)
Z pierwszej zależności wyznaczono \(\displaystyle{ y}\) i wstawiono do drugiej.

[tatteredspire]

Nie rozumiem do końca jak powstał ten drugie wzór i co mam z nim zrobić.
Mógłbyś dać jakąś wskazówkę?

Wiesz jak wyznaczyć argument dla którego funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 \wedge a>0}\) przyjmuje najmniejszą wartość (gdy jej dziedziną jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\))?

[wilddance]

O ile wiem trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ p}\) funkcji
Próbowałem wyznaczyć argument
\(\displaystyle{ y=x^2+(x-10)^2}\)
\(\displaystyle{ y=2x^2-20x+100}\)
\(\displaystyle{ p=\frac{20}{4}=5}\)
\(\displaystyle{ 5=x-10}\)
\(\displaystyle{ x=15 ; y=5}\)
Nie jestem pewien swojego rozwiązania, mógłby ktoś sprawdzić obliczenia?

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ p}\) jest \(\displaystyle{ x}\)-em więc podstaw to za \(\displaystyle{ x}\) i wylicz \(\displaystyle{ y}\). Jest źle, poza tym, że \(\displaystyle{ p}\) wyznaczyłeś dobrze.

[wilddance]

Czyli:
\(\displaystyle{ y=5-10}\)
\(\displaystyle{ y=-5}\)
\(\displaystyle{ x=5}\)
Tak?

[tatteredspire]

Tak.