Granica podwójna

Molniya · Post autor: **Molniya** » 31 sie 2011, o 11:03

Witam. Proszę o pomoc z zadaniem.

Obliczyć granicę funkcji
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0) }\frac{ x^{3} + y^{5} }{ x^{2} + y^{4} }}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 31 sie 2011, o 12:02

Wsk.
\(\displaystyle{ x^3+y^5=x(x^2+y^4)+y(x^2+y^4)-xy^4-x^2y}\)

Molniya · Post autor: **Molniya** » 2 wrz 2011, o 13:51

Nie bardzo rozumiem dla czego rozłożyłeś mianownik

miki999 · Post autor: **miki999** » 2 wrz 2011, o 14:15

Nie mianownik tylko licznik. Wstaw to do swojej granicy i pociągnij dalej. Widzisz co można zrobić?

Molniya · Post autor: **Molniya** » 2 wrz 2011, o 14:53

To wychodzi tak:

\(\displaystyle{ \frac{-xy ^{4} - x ^{2} y }{x ^{2} + y ^{4} } + x + y}\)-- 2 wrz 2011, o 16:15 --co tutaj jeszcze można zrobić?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 2 wrz 2011, o 17:34

\(\displaystyle{ =(x+y)-\frac{xy^4}{x^2+y^4}-\frac{x^2y}{x^2+y^4}}\)
do czego dąży nawias wiadomo, pozostaje pobawić się tymi dwoma ułamkami (szacując odpowiednio mianowniki).

Molniya · Post autor: **Molniya** » 2 wrz 2011, o 19:57

Po prawdzie, nawet nie wiem jak to zrobić. Czy mógłbyś dokończyć ten przykład?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 2 wrz 2011, o 20:08

Jedno mogę pokazać, a drugie prawie identyczne, więc możesz zrobić sam
\(\displaystyle{ x^2+y^4\ge y^4\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^4}\le \frac{1}{y^4}\Rightarrow \left|\frac{xy^4}{x^2+y^4}\right| \le \left|\frac{xy^4}{y^4}\right|=|x|}\)
a do czego dąży \(\displaystyle{ |x|}\) to już chyba wiadomo...

Molniya · Post autor: **Molniya** » 3 wrz 2011, o 13:40

dzięki))