Proszę o pomoc.
zbiezność jednostajna
-
- Użytkownik
- Posty: 250
- Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 5 razy
zbiezność jednostajna
Cześć ma kłopot z zadaniem:
Proszę o pomoc.
Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{} (x^n - x^{n+1})}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ [0,1]}\) ?
Myślę, że nie. Bo \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{} (x^n - x^{n+1}) = \sum_{n=1}^{} x^n(1-x)}\). Dla \(\displaystyle{ x \in {0,1}}\) suma szeregu wynosi 0, podobnie dla \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^+}\) i \(\displaystyle{ x \rightarrow 1^-}\)Proszę o pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 250
- Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 5 razy
zbiezność jednostajna
Masz na myśli coś takiego ?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x^n(1-x) = \begin{cases} 0, \ \ x\in \left (0;1\right) \\ 0, \ \ x\in \{0,1\} \end{cases}}\)
O to chodziło ?- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
zbiezność jednostajna
Raczej o
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}x^n=\ldots}\)
Myślę, że najprościej będzie tak
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} (x^n - x^{n+1})=x-x^2+x^2-x^3+x^3-\ldots+x^k-x^{k+1}.}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}x^n=\ldots}\)
Myślę, że najprościej będzie tak
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} (x^n - x^{n+1})=x-x^2+x^2-x^3+x^3-\ldots+x^k-x^{k+1}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 250
- Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 5 razy
zbiezność jednostajna
\(\displaystyle{ x-x^2+x^2-x^3+x^3-\ldots+x^k-x^{k+1} = x - x^{k+1}}\)
To powinno być zbieżne to 0, ale np dla \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}}\) ta suma (przy \(\displaystyle{ k \rightarrow \infty}\) ) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) , czyli nie ma zbieżności jednostajnej.O to chodzi ?
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 250
- Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 5 razy
zbiezność jednostajna
Z zerem bo była pomyłka.
Chodziło mi o to, że jeśli np \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) to suma dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ( bo \(\displaystyle{ k \rightarrow \infty}\) ) , a jesli np \(\displaystyle{ x=\frac{1}{5}}\) to szereg dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) . Żeby była zbieżność jednostajna, to \(\displaystyle{ x - x^{k+1} \rightarrow g}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) , \(\displaystyle{ g \in \math{R}}\)
Tak ?
Chodziło mi o to, że jeśli np \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) to suma dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ( bo \(\displaystyle{ k \rightarrow \infty}\) ) , a jesli np \(\displaystyle{ x=\frac{1}{5}}\) to szereg dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) . Żeby była zbieżność jednostajna, to \(\displaystyle{ x - x^{k+1} \rightarrow g}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) , \(\displaystyle{ g \in \math{R}}\)
Tak ?
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
zbiezność jednostajna
Chyba żeśmy się nie dogadali. Nie widzę żebyś udowodnił, że ten szereg nie jest zbieżny jednostajnie.-- 3 wrz 2011, o 14:07 --Np. wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (x-x^{n+1})_n}\) są funkcjami ciągłymi na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Co powiesz o granicy ciągu funkcji ciągłych zbieżnego jednostajnie?
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
zbiezność jednostajna
Raczej
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } (x-x^{n+1}) = \begin{cases}
x \ \ \ \ \ , \ 0 \le x < 1 \\
0 \ \ \ \ \ , \ x = 1 \end{cases}}\)
ale i tak to nie jest odpowiedz na moje pytanie.x \ \ \ \ \ , \ 0 \le x < 1 \\
0 \ \ \ \ \ , \ x = 1 \end{cases}}\)