niestandardowa całka

[ojciec_kogut]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} (x^{6}+x^{3}) \sqrt[3]{x^3+2} dx}\)

[luka52]

Niech \(\displaystyle{ I = \int (x^6 + x^3) \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x}\).

\(\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*} I & = & \int (x^4 + x) \cdot x^2 \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x \\
& = & \frac{1}{4} (x^4 + x) \cdot (x^3 + 2)^{4/3} \; - \; \frac{1}{4} \int (4x^3 + 1)\cdot (x^3 + 2)^{4/3} \; \mbox d x \\
& = & \frac{1}{4} (x^4 + x) \cdot (x^3 + 2)^{4/3} \; - \; \int (x^6 + x^3 ) \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x - \frac{1}{4} \int (5x^3 + 2) \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x \end{eqnarray*}}\)

Zajmijmy się teraz nowo powstałą całką i oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ J}\). Oczywiście zachodzi \(\displaystyle{ I = \tfrac{1}{8} (x^4 + x) (x^3+2)^{4/3} - \tfrac{1}{8}J}\).
Całkę \(\displaystyle{ J}\) obliczamy analogicznie, tj.:

\(\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*} J & = & 5 \int x \cdot x^2 \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x + 2 \int \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x \\
& = & \frac{5}{4} x (x^3 + 2)^{4/3} - \frac{1}{4} \int ( 5x^3 + 2 + 8 ) \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x + 2 \int \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x \end{eqnarray*}}\)

Widzimy już, że \(\displaystyle{ J = x (x^3 + 2)^{4/3}}\). Elementarne rachunki pozwalają nam wyznaczyć końcowy wynik jako:

\(\displaystyle{ \boxed{I = \frac{1}{8} x^4 (x^3 + 2) \sqrt[3]{x^3 + 2} + C}}\)

[Mariusz M]

Podstawienie \(\displaystyle{ 1+x^3=t}\)

aby sprowadzić całkę do postaci różniczki dwumiennej

Następnie podstawienie związane z różniczką dwumienną

[luka52]

mariuszm, to podstawienie nic nie ułatwia.
Mamy z niego, że \(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{t-1} , \; \mbox d x = \tfrac{1}{3}(t-1)^{-2/3}}\) i podstawiając wszystko do całki otrzymamy:

\(\displaystyle{ I = \int \frac{1}{3} (-1+t)^{1/3} t (1+t)^{1/3} \; \mbox d t}\) - nie jest to bynajmniej całka różniczki dwumiennej.

[Mariusz M]

mariuszm, to podstawienie nic nie ułatwia.
Mamy z niego, że \(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{t-1} , \; \mbox d x = \tfrac{1}{3}(t-1)^{-2/3}}\) i podstawiając wszystko do całki otrzymamy:

\(\displaystyle{ I = \int \frac{1}{3} (-1+t)^{1/3} t (1+t)^{1/3} \; \mbox d t}\) - nie jest to bynajmniej całka różniczki dwumiennej.

No tak luka ale tę całkę można teraz zapisać w postaci

\(\displaystyle{ I = \int \frac{1}{3} t (-1+t^2)^{1/3} \; \mbox d t}\)

A to jest całka z różniczki dwumiennej

Można także przez części tak jak pokazałeś

Moja pierwsza myśl to też scałkować przez części ale źle dobrałem
funkcje

Podstawieniami też można obliczyć

Nie radzę jednak rozbijać tej całki na całkę sumy

[luka52]

mariuszm, heh, masz rację

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} (x^{6}+x^{3}) \sqrt[3]{x^3+2} dx}\)

Przez części już luka obliczył
ja teraz postaram się obliczyć podstawieniem

\(\displaystyle{ \int_{}^{} (x^{6}+x^{3}) \sqrt[3]{x^3+2} dx}\)

\(\displaystyle{ t=1+x^3}\)

\(\displaystyle{ dt=3x^2dx}\)

\(\displaystyle{ dx= \frac{dx}{3x^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ \frac{x^3}{x^2}*t* \sqrt[3]{1+t} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ x*t* \sqrt[3]{1+t} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ \sqrt[3]{t-1}*t* \sqrt[3]{1+t} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ t* \sqrt[3]{-1+t^2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ t* \left( -1+t^2\right)^ \frac{1}{3} }}\)

\(\displaystyle{ u^3=-1+t^2}\)

\(\displaystyle{ 3u^2du=2tdt}\)

\(\displaystyle{ dt= \frac{3u^2}{2t}du}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{6} \int{ \frac{u^2}{t}*t*u }du}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int{ u^3 du}= \frac{1}{8}u^{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{8}u^4= \frac{1}{8} \left( -1+ \left( 1+x^3\right)^2 \right)^ \frac{4}{3} = \frac{1}{8} \left(-1+x^6+2x^3+1 \right)^ \frac{4}{3} =}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \left( x^6+2x^3\right)^ \frac{4}{3}= \frac{1}{8} \left( x^3\right)^ \frac{4}{3} \left( x^3+2\right)^ \frac{4}{3}=}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{8}x^4 \left(x^3+2\right) ^ \frac{4}{3} +C}\)