Równanie prostej

[sndr]

Prosta \(\displaystyle{ k}\) ma równanie: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-3z+1=0\\3x+5y-z-2=0\end{cases}}\)

Przedstaw je w postaci parametrycznej. Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ \alpha}\) prosta \(\displaystyle{ k}\) jest prostopadła do wektora \(\displaystyle{ w=[ \alpha , 5, -3]}\)

Wychodzi na to, że \(\displaystyle{ k}\) jest krawędzią przecięcia się płaszczyzn
\(\displaystyle{ \pi _{1}: 2x+y-3z+1=0}\)
\(\displaystyle{ \pi _{2}: 3x+5y-z-2=0}\)

Mamy układ równań liniowych jednorodnych, ale nie bardzo wiem co z nim zrobić. Coś będzie trzeba uznać później za parametr od którego układ jest zależny, tylko co nim będzie?
Szczerze mówiąc nie widzę w skrypcie układu dwóch równań z trzema niewiadomymi.

[lukasz1804]

Parametrem może być dowolna ze zmiennych spośród \(\displaystyle{ x,y,z}\). Jeśli np. przyjąć \(\displaystyle{ t}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\), to mamy \(\displaystyle{ y=3z-2t-1}\) i wobec tego \(\displaystyle{ 3t+5(3z-2t-1)-z-2=0}\), tj. \(\displaystyle{ 14z-7t-7=0}\), więc \(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}(t+1)}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}(1-t)}\). Równanie parametryczne prostej jest zatem następujące: \(\displaystyle{ k: (t,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t,\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t)=(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})t+(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\). Wektorem kierunkowym tej prostej jest \(\displaystyle{ [1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}\) i zgodnie z poleceniem ma on być prostopadły do wektora \(\displaystyle{ [\alpha,5,-3]}\) - ich iloczyn skalarny musi być zatem równy zeru.