Jak obliczyć?
\(\displaystyle{ \iint_{D} \left( x ^{2} +y ^{2} \right) \,\text dx\,\text dy}\),
gdzie \(\displaystyle{ D}\) okreslony jest nierownosciami \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} \le 2y, \ x ^{2}+y ^{2} \ge 2x, \ x \ge 0}\)
Narysowałam wykres ale nie wiem jak wyznaczyc \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)
całka podwójna
-
Hah
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 29 sie 2011, o 14:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wwa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
całka podwójna
Jeżeli narysowaleś wykres to zobacz ktora funkcja zamyka obszar z góry, a która z dołu.
29617.htm
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ \le y \le}\) Musisz tylko przekształcić funkcje do postaci y=jakiś tam x - (z równania \(\displaystyle{ x^2+y^2=2x}\) bedziesz miała górną granice - analogicznie dolna. Jako wskazówka: obszar miesci sie miedzy punktami (0.0) (1.1) - 2 parabole obrócone względem siebie o 90 stopni daja taki sam obszar
29617.htm
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ \le y \le}\) Musisz tylko przekształcić funkcje do postaci y=jakiś tam x - (z równania \(\displaystyle{ x^2+y^2=2x}\) bedziesz miała górną granice - analogicznie dolna. Jako wskazówka: obszar miesci sie miedzy punktami (0.0) (1.1) - 2 parabole obrócone względem siebie o 90 stopni daja taki sam obszar
całka podwójna
\(\displaystyle{ x^2+y^2=2x}\) z tego nie bedzie dolna? i jak tu \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} \le 2y}\) wyznaczyc \(\displaystyle{ y}\)
całka podwójna
To bedzie tak?
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \varphi \le \frac{ \pi }{2} \\ \\
2 \sin \varphi \le \rho \le 2 \cos \varphi}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \varphi \le \frac{ \pi }{2} \\ \\
2 \sin \varphi \le \rho \le 2 \cos \varphi}\)
całka podwójna
a no tak
mógłbys sprawdzic calke?
\(\displaystyle{ \iint_{D}(x ^{2}+y ^{2}) dx dy = \iint _{\Delta} (\rho ^{2} \cos ^{2} \varphi + \rho ^{2} \sin ^{2} \varphi) \cdot \varphi \ d\rho d\varphi = \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ \pi }{2} } \left[ \int_{2 \cos \varphi}^{2 \sin \varphi} \rho ^{3} d\rho \right] d\varphi = \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ \pi }{2} } \left[ \frac{\rho ^{4} }{4} \right] _{2 \cos \varphi}^{2 \sin \varphi} d\varphi = 2 \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ \pi }{2} } (\sin ^{2} \varphi + \cos ^{2} \varphi)(\sin ^{2} \varphi - \cos ^{2} \varphi) \ d\varphi =}\)
nie wiem co dalej z tym zrobic?
mógłbys sprawdzic calke?
\(\displaystyle{ \iint_{D}(x ^{2}+y ^{2}) dx dy = \iint _{\Delta} (\rho ^{2} \cos ^{2} \varphi + \rho ^{2} \sin ^{2} \varphi) \cdot \varphi \ d\rho d\varphi = \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ \pi }{2} } \left[ \int_{2 \cos \varphi}^{2 \sin \varphi} \rho ^{3} d\rho \right] d\varphi = \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ \pi }{2} } \left[ \frac{\rho ^{4} }{4} \right] _{2 \cos \varphi}^{2 \sin \varphi} d\varphi = 2 \int_{ \frac{ \pi }{4} }^{ \frac{ \pi }{2} } (\sin ^{2} \varphi + \cos ^{2} \varphi)(\sin ^{2} \varphi - \cos ^{2} \varphi) \ d\varphi =}\)
nie wiem co dalej z tym zrobic?
-
aalmond
- Użytkownik
- Posty: 2911
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 623 razy
całka podwójna
Pierwszy czynnik to oczywiście jedynka trygonometryczna, a drugi:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \varphi - \cos ^{2} \varphi = - \left ( \cos ^{2}-\sin ^{2} \varphi \right ) = - \cos 2 \varphi}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \varphi - \cos ^{2} \varphi = - \left ( \cos ^{2}-\sin ^{2} \varphi \right ) = - \cos 2 \varphi}\)