Suma Riemana (proste)

[tommasz]

Mam obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{2n} \sqrt{2- \left( \frac{k}{n} \right) ^2 } \frac{k}{n^2}}\)
Od razu widać, że funkcją do której ten szereg zbiega jest:
\(\displaystyle{ f(x)= x \sqrt{1-x^2}}\)
Tylko problem mam z wyznaczeniem granic całkowania, bo szereg sumuje do 2n, to więc powinienem obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{2}f(x)\,\text dx}\) czy \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)\,\text dx}\) ?

No i jeszcze jedna wątpliwość, jeżeli w tym szeregu podstawie k=2n, to wychodzi mi ujemna liczba pod pierwiastkiem...

[Lorek]

No i jeszcze jedna wątpliwość, jeżeli w tym szeregu podstawie k=2n, to wychodzi mi ujemna liczba pod pierwiastkiem...

Ja bym zaczął od tej wątpliwości, bo na chwilę obecną to to wyrażenie nie ma sensu. Dobrze przepisany przykład?

[tommasz]

Tak, dobrze przepisany. Spodziewam się, że prowadzący zrobił błąd. Więc zadanie pewnie jest źle postawione.

Ale co by było gdyby założyć, że pod pierwiastkiem jest wszystko dobrze, że zawsze jest większe od zera?

[Lorek]

Jakby np. było coś takiego
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{2n} \sqrt{2- \left( \frac{k}{n} \right) } \frac{k}{n^2}}\)
i zapisałbyś to tak
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \sqrt{2- \left( \frac{k}{n} \right) } \frac{k}{n}}\)
to znaczyłoby to, że dzielisz przedział na odcinki długości \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) a punkty pośrednie są postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n},\frac{2}{n},...,\frac{2n-1}{n},\frac{2n}{n}=2}\)
i stąd chyba widać jakie by były granice całkowania.