potencjał pola wektorowego

[robp]

Witam wszystkich.

Przygotowuję się do egzaminu z analizy matematycznej (ten piątek). Przerobiłem już niemal wszystko. Brakuje mi jednakże przykładów z odpowiedziami na potencjał pola wektorowego, by w pełni zrozumieć ten zakres materiału. W związku z tym, czy ktoś mógłby przedstawić tok i ważniejsze przekształcenia w przykładzie poniżej? Robiłem to tak, że (po zapisaniu całki) całkowałem pierwszą składową pola od 0 do x, zaś w drugiej podstawiałem x = 0 i całkowałem od 0 do y. Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

Zadanie
Wyznaczyć potencjał pola \(\displaystyle{ \vec{W} = [y + 2xy\sin{(x^2y)}, x + x^2\sin{(x^2y)}].}\)

[Crizz]

Oznaczmy \(\displaystyle{ \vec{W}=[P,Q]}\).

Zaczynasz od sprawdzenia, czy to pole rzeczywiscie jest potencjalne, czyli czy \(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}\).

Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie szukanym potencjałem. Wówczas \(\displaystyle{ P=\frac{\partial F}{\partial x}}\) oraz \(\displaystyle{ Q=\frac{\partial F}{\partial y}}\). Całkujesz jedno z tych wyrażeń, potem różniczkujesz względem drugiej zmiennej, żeby porównać z drugim wyrażeniem i tym samym uzyskać wzór na stałą całkowania.

Po kolei:

\(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=2x^3y\cos(x^2y)+2x\sin(x^2y)+1\\
\frac{\partial Q}{\partial x}=2x^3y\cos(x^2y)+2x\sin(x^2y)+1}\)
zatem pole jest potencjalne.

\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial y} =x + x^2\sin{(x^2y)}}\), czyli:
\(\displaystyle{ F=\int \frac{\partial F}{\partial y} \mbox{d}y=xy-\cos (x^2 y)+C(x)\\
\frac{\partial F}{\partial x}=2xy\sin(x^2y)+y+C^\prime(x)}\)
Skoro \(\displaystyle{ 2xy\sin(x^2y)+y+C^\prime(x)\equiv 2xy\sin(x^2y)+y}\), to \(\displaystyle{ C(x)=C}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ F=xy-\cos (x^2 y)+C}\).

[robp]

Wielkie dzięki:-). Teraz dopiero widzę, jak bardzo na około i na intuicję robiłem takie zadania. Sposób rozwiązania jest bardzo przyjemny, prosty i przejrzysty. Pochwała jak nic.