Skoro zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru to...

[Jan Kraszewski]

Warto wspomnieć, że zależnie od używanej aksjomatyki klasa jest bytem lub nie. W najpowszechniejszej aksjomatyce Zermelo-Fraenkla klasa nie jest bytem, tylko wygodnym skrótem myślowym.

JK

[celtrun]

Nie jest bytem więc jest czymś co nie jest. A że mówimy o matematyce to klasa w najpowszechniejszej aksjomatyce nie jest czymś matematycznym, ale poza matematycznym, jest skrótem myślowym.

[Adifek]

Bo aksjomatyka ZF jest aksjomatyką teorii mnogości, która zaś odwołuje się do zbiorów. Jednak np. zbiór wszystkich zbiorów nie jest zbiorem, więc wygodnie jest się uciec to ww. klas. Oczywiście klasa to też odpowiednio zdefiniowany twór, jednak na początku nauki matematyki nie ma sensu się do niego zbyt często odwoływać. Powiem nawet więcej: ponieważ teoria mnogości rozwinęła się w XIX w., a do tego czasu rozwijały się np. analiza czy algebra, więc więc często do opanowania pojęć z analizy wyższej wystarczą naprawdę proste pojęcia teorii mnogości.

[Jan Kraszewski]

Bo aksjomatyka ZF jest aksjomatyką teorii mnogości, która zaś odwołuje się do zbiorów. Jednak np. zbiór wszystkich zbiorów nie jest zbiorem, więc wygodnie jest się uciec to ww. klas. Oczywiście klasa to też odpowiednio zdefiniowany twór,

Ostrożnie. W aksjomatyce ZF klasa nie istnieje, więc nie możesz mówić, że jest to odpowiednio zdefiniowany twór. Co najwyżej, że jest to odpowiednio zdefiniowany skrót.

JK

[Adifek]

Oczywiście, chodziło o odpowiednio zdefiniowany twór w domyśle w matematyce <nie w aksjomatyce ZF>, choć faktycznie ma pan racje, że chyba jednak warto to zaakcentować.

[Piotr Pstragowski]

Bo aksjomatyka ZF jest aksjomatyką teorii mnogości, która zaś odwołuje się do zbiorów. Jednak np. zbiór wszystkich zbiorów nie jest zbiorem, więc wygodnie jest się uciec to ww. klas. Oczywiście klasa to też odpowiednio zdefiniowany twór,

Ostrożnie. W aksjomatyce ZF klasa nie istnieje, więc nie możesz mówić, że jest to odpowiednio zdefiniowany twór. Co najwyżej, że jest to odpowiednio zdefiniowany skrót.

JK

W notatkach, które czytałem (to był chyba dowód Tw. Godla) klasą nazywano formułę z jednym parametrem i myślano o niej intuicyjnie jako o "zbiorach, które spełniają tę formułę".

W moim zrozumieniu, ZFC możemy traktować jako byt syntaktyczny, czyli reguły o przekształcaniu napisów w pewnym języku. Ale w logice pierwszego rzędu odwołujemy się do pojęcia modelu, który z definicji jest zbiorem. Ale jak to może być a priori zbiór w sensie ZFC, jeśli ZFC definiujemy właśnie w logice pierwszego rzędu? W wielu teoriach (tyle pamiętam z forsingu, zanim z niego uciekłem) odwołujemy się do istnienia pewnego uniwersum zbiorów i w nim żyją sobie modele ZFC, które są właściwie tym samym czym są modele grup - tylko bardzo przypominają całe uniwersum.

Piszę to po części, aby być wyprowadzonym z błędu, a po części, bo uważam, że nie warto strofować studenta, który jakoś przeszedł przez pierwszy rok, by zawsze mocno uważał na słowo klasa. Jeśli świadomie użył słowa klasa, zamiast słowa zbiór, to najprawdopodobniej nic złego sobie klasami nie zrobi.

[celtrun]

A Ci powiem Adifek, że zainteresował mnie ta teoria mnogości na tyle, że to ją chcę wałkować jakiś czas. A to temu, że te zbiory zaczynają mi wyglądać jako dobre pojemniki na pewne rzeczy. Analizę matematyczną też zacznę, jak tylko ze zbiorami się zapoznam. Tak przynajmniej myślę teraz. Ogólnie dzięki za uświadomienie mi tych faktów.
Tak, Panie Kraszewski, skoro klasa to to odpowiednio zdefiniowany skrót to będę starał się o tym pamiętać i jeśli będę używał tego pojęcia to właśnie z taką świadomością, choć na potrzeby jakichś swoich rozważań w matematyce dla ułatwienia.
Piotrze, ja akurat studentem matematyki nie jestem. Zresztą w ogóle nie studiuję niczego, ale uczę się tego co lubię. Generalnie dlatego, że matematykę zacząłem stosunkowo niedawno nie znam jeszcze wielu pojęć, a te które nabywam staram się zrozumieć w miarę dobrze, nim przejdę do następnych, jednak postaram się coś zapamiętać z tego co napisałeś, choć jeszcze jest to dla mnie trochę niejasne, ponieważ do tej pory liznąłem jedynie trochę teorii mnogości. Jednak dziękuję.

[Piotr Pstragowski]

Jeśli piszesz na serio, tu - masz dobry kurs podstaw teorii mnogości i logiki (dla informatyków wydziału MIMUW). Jest trochę uproszczony w stosunku do tego, czego wymaga się od matematyków, więc łatwiej Ci będzie przez niego przebrnąć.

Ale studiowanie teorii mnogości w jakimś dalszym stopniu muszę Ci odradzić. Będzie to dla Ciebie zbyt mało umotywowane (istnienie drzew Aronszajna?) i zbyt trudne, kurs rachunku różniczkowego i algebry liniowej ma to do siebie, że jest bardziej konkretny i dobrze uczy matematycznego myślenia.

[Jan Kraszewski]

W notatkach, które czytałem (to był chyba dowód Tw. Godla) klasą nazywano formułę z jednym parametrem i myślano o niej intuicyjnie jako o "zbiorach, które spełniają tę formułę".

Nie o zbiorach, tylko raczej o "kolekcjach, które spełniają tę formułę".

W wielu teoriach (tyle pamiętam z forsingu, zanim z niego uciekłem) odwołujemy się do istnienia pewnego uniwersum zbiorów

To uniwersum wszystkich zbiorów jest pewnym wygodnym uproszczeniem, bo nie jest zbiorem, a modele są zbiorami. Tak naprawdę w teorii forsingu rozpatruje się "dostatecznie duże, skończone fragmenty ZFC", a dla skończonej teorii możemy znaleźć dobry (tranzytywny) model, który jest zbiorem.

JK

[Piotr Pstragowski]

To uniwersum wszystkich zbiorów jest pewnym wygodnym uproszczeniem, bo nie jest zbiorem, a modele są zbiorami. Tak naprawdę w teorii forsingu rozpatruje się "dostatecznie duże, skończone fragmenty ZFC", a dla skończonej teorii możemy znaleźć dobry (tranzytywny) model, który jest zbiorem.

JK

Ok, coś kojarzę. Czy mówiąc o modelu teorii pierwszego rzędu mamy na myśli, że jest zbiorem pewnego ustalonego "modelu" ZFC? Bez założenia istnienia pewnego pierwotnego "uniwersum" widzę zapętlone myślenie polegające na tym, że nasze uniwersum to model ZFC, a model to zbiór - ale w jakim sensie? Będę bardzo wdzięczny za rozwianie moich wątpliwości.

[celtrun]

Nie było mnie jakiś czas, ale już jestem. Temat jak dla mnie wyczerpująco omówiony.
Dziękuję wszystkim za pomoc.