jądro odwzorowania

[anetaaneta1]

Znaleźć jadro odwzorowania któremu odpowiada macierz
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1& 0&1 &0 &0 &0 \\ 0&1&0 &1 &0 &0 \\ -1&0&1 &0 &-1 &0 \\ 0&0&0 &-1 &0 &1\end{bmatrix}}\)
W obu przestrzeniach przyjęto bazy kanoniczne

Z góry dzięki za pomoc

[szw1710]

Musisz rozwiązać jednorodny układ równań. Kolumny odpowiadają niewiadomym. Więc masz 6 niewiadomych i 4 równania. Prawe strony równań są zerowe.

[anetaaneta1]

nie do końca rozumiem jak to zrobić mógłbyś mi zacząć ?

[szw1710]

Oznaczając

\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{bmatrix}}\)

mamy \(\displaystyle{ T(X)=AX}\), gdzie \(\displaystyle{ T}\) jest naszym odwzorowaniem liniowym. Z definicji jądra szukamy wektorów \(\displaystyle{ X}\) takich, że \(\displaystyle{ T(X)=0}\), czyli mamy jednorodny układ równań

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& 0&1 &0 &0 &0 \\ 0&1&0 &1 &0 &0 \\ -1&0&1 &0 &-1 &0 \\ 0&0&0 &-1 &0 &1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\)

[anetaaneta1]

a jak teraz wyliczyć te niewiadome ???
mam wymnożyć te macierze po lewej ???

[szw1710]

Masz przejść na zwykły układ równań, a najlepiej zapisać jego macierz rozszerzoną i rozwiązać macierzowo. To zwykły układ równań liniowych. Wykłada się o nich wcześniej niz o odwzorowaniach liniowych jako że są z nimi w ścisłym związku.

Rzeczywiście, możesz też wymnożyć macierze, a dostaniesz równania naszego układu.