Równanie Bernouliego

[gilus0022]

\(\displaystyle{ x^{3} y'-2xy= y^{3} /: y^{3}\\ \\ \\
\frac{x^{3}}{y^{3} } \frac{dy}{dx} - \frac{2x}{ y^{2} } = 1 \\ \\
z= y^{-2} \\ \\
\frac{dz}{dx} = \frac{-2dy}{ y^{3}dx }\\ \\
\frac{dy}{ y^{3} dx} = -\frac{dz}{ 2dx }\\ \\
-\frac{ x^{3} dz}{ 2dx }-2xz=1 \leftarrow RRLN\\ \\
-\frac{ x^{3} dz}{ 2dx }=2xz \\ \\
\frac{dz}{z}= -\frac{4}{ x^{2} }dx \\ \\
\frac{dz}{z}= -4 \cdot x^{-2} dx \ \backslash \int\\ \\
\ln |\left z |\right = \frac{4}{x}+C \\ \\
z=Ce^{ \frac{4}{x} } \leftarrow CORJ}\)

Czy do tego momentu jest poprawnie?

[Lorek]

Tak.

[Karoll_Fizyk]

\(\displaystyle{ \ln \left| z \right| = \frac{4}{x} + C _{1}}\)

Jeżeli już tu dodałeś stałą \(\displaystyle{ C _{1}}\), to tego się trzymaj, jedynie podstawiając warunki początkowe ona ci się ujawni jako liczba...

\(\displaystyle{ z(x) = C _{2} \cdot e ^{ \frac{4}{x} + C _{1} } + C _{3}}\)

Pozdrawiam!

[Lorek]

Karoll_Fizyk, o co chodzi?

\(\displaystyle{ z(x) = C _{2} \cdot e ^{ \frac{4}{x} + C _{1} } + C _{3}}\)

Przecież to nie jest rozwiązanie, no chyba, że \(\displaystyle{ C_3=0}\), ale wtedy to jest to samo co napisał gilus0022.

[gilus0022]

Patrząc na równanie:

\(\displaystyle{ -\frac{ x^{3} dz}{ 2dx }-2xz=1 \leftarrow RRLN}\)

uzmienniam stałą:

\(\displaystyle{ z=C(x) e^{ \frac{4}{x} } \\ \\
\frac{dz}{dx} = \frac{dC(x) \cdot e^{ \frac{4}{x} } }{ dx } - \frac{4}{x ^{2} } \cdot e ^{ \frac{4}{x} } \cdot C(x) \\}\)

Otrzymane zależności wstawiam do powyższego RRLN

\(\displaystyle{ \frac{- x^{3}dC(x) \cdot e^{ \frac{4}{x} } }{2dx} +2xe^{ \frac{4}{x}} C(x)-2 x e^{
\frac{4}{x}}C(x)=1 \\ \\
\frac{-x^{3} dC(x) \cdot e^{ \frac{4}{x} }} {2dx} = 1 \\ \\
dC(x)= - \frac{2dx}{ x^{3} \cdot e^{ \frac{4}{x} }}}\)

Tutaj skorzystałem z Wolframa:

(trzeba ręcznie skopiować cały link)

Tylko czemu w całkowaniu przez części pojawia się:

\(\displaystyle{ dg= e^{-4u}du \\
g= -\frac{1}{4} \cdot e^{-4u}}\)

Czy nie powinno być :

\(\displaystyle{ dg= e^{-4u}du \\
g= -2u^{2} \cdot e^{-4u}}\)

???

[Lorek]

A ile wynosi całka z \(\displaystyle{ e^{ax}}\) ?

[gilus0022]

A ile wynosi całka z \(\displaystyle{ e^{ax}}\) ?

Do tej pory myślałem, że całka z funkcji zewnętrznej razy całka z wewnętrznej - jak przy pochodnych. Ale już będe wiedział.

Czyli:
\(\displaystyle{ C(x) = - \frac{e ^{ -\frac{4}{x}}(4+x) }{8x} + C \\
z = C(x)e ^{ \frac{4}{x} } \\
z= - \frac{e ^{ -\frac{4}{x} }(4+x) \cdot e ^{ \frac{4}{x} }}{8x} + C= - \frac{e ^{0 }(4+x) }{8x} + C= \frac{-(4+x)}{8x} + C \\
z=y^{-2} \\
\frac{1}{ y^{2} } = \frac{-(4+x) }{8x} + C\\
y^{2}=\frac{8x}{-(4+x)} + C \\
y= \pm \sqrt{\frac{8x}{-(4+x)}} + C}\)

I rozumiem że koniec zadania

[Lorek]

Stałą przy \(\displaystyle{ C(x)}\) ci gdzieś wcięło i przy pierwiastku będzie \(\displaystyle{ \pm}\).

[gilus0022]

Poprawione. Wielkie dzięki

[Lorek]

No chyba jednak nie bardzo poprawione, bo ta stała u ciebie wędruje w różne miejsca, zamiast być cały czas w jednym.