Obliczyc objętość bryły

[ve7nice]

Obliczyć objętość bryły określonej warunkami: \(\displaystyle{ x^2 +y^2 +z^2 \le 9 , x^2+y^2 \le 4 ,z \ge 0}\)


Czy może ktoś sprawdzić czy dobrze to rozwiazuje?


\(\displaystyle{ \iint_{D} \sqrt{ 9-x^2-y^2}\,\text dx\,\text dy}\)

Teraz przechodze na współrzedne biegunowe:\(\displaystyle{ \iint_{D} \sqrt{9-r^2}r\,\text dr\,\text d\varphi}\)

wyznaczam granice całkowania: \(\displaystyle{ -2 \le r \le 2}\), \(\displaystyle{ -\frac\pi2 \le\varphi \le \frac\pi2}\)

Czy dobrze wyznaczyłem te granice? Nie za bardzo to rozumiem, wiem że trzeba rozwiazać nierowności albo z rysunku odczytac.

[kolorowe skarpetki]

Co to jest według Ciebie \(\displaystyle{ r}\) ?

[ve7nice]

r to jest obraz okregu \(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\) jaki przyjmuje przy przekształceniu.

[kolorowe skarpetki]

Twój zbiór \(\displaystyle{ D}\) (rzut Twojej bryły na płaszczyznę OXY), to koło wraz z okręgiem o promieniu \(\displaystyle{ r}\). Promień jest zawsze \(\displaystyle{ r \geq 0}\). Największy \(\displaystyle{ r}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\), czyli \(\displaystyle{ r \in [0,2]}\). Natomiast kąt \(\displaystyle{ varphi in [0,2pi )}\).

[ve7nice]

Ok dzięki. A jak najprościej ogólnie wyznaczać kąt \(\displaystyle{ \varphi}\)? To dla mnie jest najtrudniejsze:P

[kolorowe skarpetki]

Zaczęłabym od ponownego przeanalizowania współrzędnych biegunowych