Funkcja wykładnicza - badanie

[lukasz1804]

Granica funkcji w nieskończoności nie jest liczbą skończoną, więc asymptota pozioma (nawet jednostronna) nie może istnieć.

Zresztą, można wykluczyć istnienie asymptoty poziomej na podstawie istnienia ukośnej - skoro istnieje ukośna z obu stron to już poziomych być nie może.

[sndr]

Dana funkcja ma minimum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ 2, e}\). Czy w momencie policzenia pierwszej pochodnej należy dla niej wyznaczyć nową dziedzinę? Wydaje mi się, że tak, chociaż w tym przypadku (nie wiem jak w innych) również należy wykluczyć z dziedziny \(\displaystyle{ 1}\). W końcowym rozrachunku należy brać tutaj to \(\displaystyle{ 1}\) pod uwagę przy ustalaniu monotoniczności mimo nienależenia do dziedziny?

[lukasz1804]

Funkcja może być różniczkowalna tylko w punktach, w których jest określona - zatem dziedzina pochodnej nie jest szersza niż dziedzina funkcji - bywa natomiast, że pochodna ma dziedzinę węższą (tu akurat tak nie jest - dziedziny funkcji i jej pochodnej są równe).

Dla argumentu 1 funkcja nie jest określona, przy badaniu jej monotoniczności rozważamy ją tylko w dziedzinie (oczywiście funkcja nie musi być różniczkowalna aby była monotoniczna, ale to inny problem - nie dotyczy tego przykładu).

[sndr]

1. Skoro nie bierzemy pod uwagę \(\displaystyle{ 1}\) to... nie wiem
Napisałabym, że:
\(\displaystyle{ (- \infty ; 1)}\) funkcja rośnie
\(\displaystyle{ 1}\) nie należy do dziedziny
\(\displaystyle{ (1; 2)}\) funkcja maleje
\(\displaystyle{ 2}\) minimum lokalne
\(\displaystyle{ (2; + \infty )}\) funkcja rośnie

Ale skoro \(\displaystyle{ 1}\) nie ma w dziedzinie to czy można tak określić przedziały monotoniczności?

2. Policzyłam drugą pochodną, żeby ustalić czy funkcja ma punkt przegięcia, ale wydaje mi się, że coś jest z nią nie tak.

\(\displaystyle{ (e^{ \frac{1}{x-1} } \cdot \frac{x-2}{x-1})'= e^{ \frac{1}{x-1} }( -\frac{1}{ (x-1)^{2} }) \cdot \frac{x-2}{x-1} + e^{ \frac{1}{x-1} } \cdot 1= e^{ \frac{1}{x-1} }( \frac{-x+2}{(x-1) ^{3} }+1)=e^{ \frac{1}{x-1} }( \frac{-x+2}{(x-1) ^{3} }+ \frac{(x-1) ^{3} }{(x-1) ^{3} })}\)

\(\displaystyle{ -x+2>0}\)
\(\displaystyle{ x<2}\)
\(\displaystyle{ f''(x)<0 \Leftrightarrow}\) funkcja wklęsła

\(\displaystyle{ -x+2<0}\)
\(\displaystyle{ x>2}\)
\(\displaystyle{ f''(x)>0 \Leftrightarrow}\) funkcja wypukła

[bakala12]

Co do pierwszej pochodnej ok. Co do tej jedynki to spójrz na granice funkcji w 1
Druga pochodna źle, skąd masz w drugiej linijce \(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{x-1} } \cdot 1}\) ?

[sndr]

Wolfram podał taką drugą pochodną:

\(\displaystyle{ \frac{e^{ \frac{1}{x-1} }(x-2)}{x-1}}\) Jak znajdę chwilę, to zerknę dokładniej na tą pochodną, bo nie chce mi wyjść.

Czyli w związku z tym:

\(\displaystyle{ x-2>0}\)
\(\displaystyle{ x>2}\)
\(\displaystyle{ f''(x)>0 \Leftrightarrow}\) funkcja wypukła
dla \(\displaystyle{ x\in (2; \infty )}\)

\(\displaystyle{ x-2<0}\)
\(\displaystyle{ x<2}\)
\(\displaystyle{ f''(x)<0 \Leftrightarrow}\) funkcja wklęsła
dla \(\displaystyle{ x\in (0; 2)}\)

\(\displaystyle{ f''(2)=0}\) ale chyba musi jeszcze nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej, żeby \(\displaystyle{ x=2}\) można było uznać za punkt przegięcia.

[bakala12]

Źle to jest nierówność wymierna!
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{x-2}{x-1}>0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x-1)>0}\)
Pamiętaj że 1 nie należy do dziedziny funkcji

[sndr]

Skoro nie należy to co mam zrobić z tym drugim nawiasem?

[lukasz1804]

Ten nawias jest tu istotny - teraz nie jest już nierówność wymierna a kwadratowa, rozwiązujesz ją standardowo.

[sndr]

\(\displaystyle{ x_{1}>2 \vee x_{2}>1 \not\in D}\)

Teraz w tych rozważaniach o drugiej pochodnej i o tym czy mniejsza lub większa niż \(\displaystyle{ 0}\) należy pominąć w ogóle 1 z zaznaczeniem, że nie należy do dziedziny funkcji?

[lukasz1804]

W jaki sposób rozwiązujesz nierówność kwadratową? Powinnaś otrzymać \(\displaystyle{ x<1\vee x>2}\).

[sndr]

To się popisałam. Zapomniałam, że wynik odczytujemy z paraboli