Wykazać, że iloczyn operatorów unitarnych jest operatorem unitarnym.
Niech \(\displaystyle{ U_1, U_2}\) będą operatorami unitarnymi.
Aby ich iloczyn był operatorem unitarnym musi zachodzić \(\displaystyle{ \left( U_1U_2 \right) ^{\dagger} \left( U_1U_2 \right) =I}\).
Mamy: \(\displaystyle{ \left( U_1U_2 \right) ^{\dagger} (U_1U_2)=U_2^{\dagger}U_1^{\dagger}U_1U_2=U_2^{\dagger}IU_2=I \cdot U_2^{\dagger}U_2=I \cdot I=I}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne?
W zasadzie, to wypadałoby jeszcze sprawdzić, czy \(\displaystyle{ (U_{1} U_{2}) (U_{1} U_{2})^{*} = I}\).
Po notacji wnoszę, że uczysz się z jakiejś książki do fizyki (pewnie do mechaniki kwantowej). O ile samo uczenie się tej dziedziny nie jest niczym złym, to jednak zawieranie znajomości z analizą funkcjonalną za pośrednictwem podręcznika do fizyki można uznać za mało rozsądne, bo fizycy traktują ją jako narzędzie, ale czerpią tylko korzyści, natomiast wszelkie trudności ignorują. W tym celu tworzą różne moralnie naganne konstrukcje, które mogą namieszać w głowie młodemu adeptowi tej dziedziny matematyki.
Jeśli jednak się mylę, co do pochodzenia tego zadania (czyli poważnie się wygłupiłem), to powyższa uwaga niech będzie przestrogą dla innych.
Zgadza się, to zadanie pochodzi z podręcznika Shankar'a do mechaniki kwantowej. Właśnie zauważyłem, że przed przerobieniem dalszej części tej książki będę musiał przerobić sobie osobno analizę funkcjonalną. Myślę nad zakupem podręcznika Rudin'a, ale nie wiem czy to dobry wybór.
To zależy od tego, czy interesuje Cię analiza funkcjonalna, czy zwyczajnie chcesz mieć swobodę w posługiwaniu się matematycznym formalizmem mechaniki kwantowej. Jeśli to pierwsze, to Rudin jest bardzo dobry (ale niełatwy, więc wypada wcześniej wiedzieć to, co się wykłada na kursie analizy oraz znać podstawy analizy zespolonej), jeśli to drugie, to trudno mi doradzić; ja należę do tej pierwszej grupy. Ale możesz próbować atakować książki o metodach matematycznych; być może warto przejrzeć ten temat: https://www.matematyka.pl/257667.htm.
W sumie to ciężko powiedzieć, czy interesuje mnie analiza funkcjonalna, bo dopiero zrobiłem kilka prostych zadań. Chyba jednak zdecyduję się na Rudin'a. Z analizą nie powinno być problemów, a analizę zespoloną na razie tylko "liznąłem", więc będę musiał sobie przypomnieć to co już zrobiłem i przerobić to czego nie zdążyłem zrobić w zeszłe wakacje.
Dzięki za wskazówki.
