Naczynie cylindryczne

[one.one]

Witajcie,
Naczynie cylindryczne o średnicy \(\displaystyle{ D=0,2 \ \text{m}}\) i wysokości \(\displaystyle{ H=0,4 \ \text{m}}\) napełnione wodą do połowy wysokości, wiruje wokół pionowej osi symetrii. Obliczyć prędkość kątową, przy której wierzchołek paraboli będzie znajdował się na wysokości \(\displaystyle{ \frac{1}{4}H}\) nad dnem naczynia (ciśneinie barom = \(\displaystyle{ 1000 \ \text{hPa}}\))

I tak moje rozwiązanie:
1. Korzystam z równania pow ekwipotencjalnych, potem całkuje o otrzymuje:
\(\displaystyle{ \frac{\omega^{2}r^{2}}{2}-gz=C}\)

2. Wyznaczam C z warunków brzegowych (nie wiem czy dobrze to sobie wytłumaczyłam, ale patrze jak gdyby na miejsce gdzie jest zwierciadło, czyli środek układu współrzędnych, tak?)
czyli \(\displaystyle{ z= \frac{1}{4} H}\) i \(\displaystyle{ r=0}\)
Z tego otrzymuje: \(\displaystyle{ \frac{1}{4}gH=C}\)

czyli całe równanie ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{\omega^{2}r^{2}}{2}-g \left( z-\frac{1}{4}H \right) =0}\)

I teraz problem, ponieważ muszę wyznaczyć prędkość kątową, ale nie wiem jak obliczyc wysokość wzniesienia cieczy na ściance bocznej. (czyli to co wstawić potem za z w warunkach brzegowych)...

Dodatkowo zapytam:
Jaka jest różnica w rozwiązywaniu zadań przy wirówkach szybkoobrotowych i wolnoobrotowych?

[Chromosom]

Rozwiązanie jest poprawne. Na podstawie znajomości średnicy możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ r}\), dalej otrzymasz wysokość poziomu cieczy przy brzegu naczynia. Jeśli chodzi o wirówki wolno lub szybko obracające się, jedyną różnicą jaką widzę jest możliwość odsłonięcia dna naczynia.

[octahedron]

\(\displaystyle{ z(r)=\frac{\omega^2r^2}{2g}+\frac{1}{4}H}\)

Objętość cieczy się nie zmienia, mamy tu bryłę obrotową, więc

\(\displaystyle{ 2\pi\int_{0}^{D/2}z(r)rdr=2\pi\int_{0}^{D/2}\frac{\omega^2r^3}{2g}+\frac{1}{4}Hrdr=\frac{\pi D^2}{4}\cdot \frac{H}{2}}\)

i można stąd obliczyć \(\displaystyle{ \omega}\)

[one.one]

Mam pytanie, dlaczego w ostatnim członie jest H/2?

[miodzio1988]

Bo

\(\displaystyle{ \int_{0 }^{ \frac{D}{2}} rdr= \frac{r ^{2}}{2} \left| ^{r=\frac{D}{2}} _{r=0} =...}\)

[one.one]

A to nie będzie, że \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\)?
Przeprasza za takie pytania, ale mam trochę problemy z odczytaniem zapisu.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ R}\) to jest co?

[octahedron]

Mam pytanie, dlaczego w ostatnim członie jest H/2?

Bo według treści zadania naczynie napełnione jest do połowy.