procent składany

[machina13]

Nie wiem czy to odpowiedni temat, ale u mnie w zbiorze to zadanie znajduje się w ciągach, więc pisze tutaj.

Pewien człowiek rozpoczął pracę po ukończeniu 25 lat. Pracodawca odprowadza co miesiąc 400 zł składki na fundusz emerytalny do ZUSu. Jeśli roczną składkę na fundusz emerytalny zatrudniony sam by wpłacał do banku na koniec każdego roku, to jaką sumę zaoszczędziłby na koniec 65 roku życia? Następnie gdyby chciał by bank wypłacał mu raz na rok emeryturę zaczynając od początku 66 roku życia przez 25 kolejnych lat, to jakiej kwoty mógłby się spodziewać?
Przyjmujemy że bank oprocentowuje lokaty w wysokości 6% w skali roku i kapitalizuje odsetki raz na rok.

podstawiłem dane pod wzór na procent składany

\(\displaystyle{ K=4800 \cdot \left( 1+ \frac{0.06}{1} \cdot 0.8 \right) ^{1 \cdot 1}}\)

otrzymałem że po roku z odsetkami będzie 5030.4 zł
potem znowu by trzeba było podstawić pod wzór i liczyć pieniądze po kolejnym roku.
Jako że to za dużo liczenia napisałem program w c++:

Kod: Zaznacz cały

b=0;

for (a=0; a<40; a++){
	b=b+4800;
	b=b cdot 1.048;
}

cout << b << endl;

otrzymuje wynik 578817 zł.

W odpowiedziach jest :
Po 40 latach na koncie powinno być 742857.44 zł . Roczna wypłata emerytury 54821.98 zł.

Co robię źle? Jak się powinno robić to zadanie? Proszę o rozpiskę kolejnych obliczeń bądź wskazanie błędu.

[Mistrz]

Nie wiem czy to odpowiedni temat, ale u mnie w zbiorze to zadanie znajduje się w ciągach, więc pisze tutaj.

To najlepsza podpowiedź do tego zadania: ono faktycznie jest z ciągów, a nie z procentów, czy czego tam.

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ (a_n)}\) ciąg geometryczny, w którym
\(\displaystyle{ a_1=4800 \ \wedge \ q=1.06}\), a więc \(\displaystyle{ a_n=4800 \cdot 1.06^{n-1}}\).
Przez \(\displaystyle{ S_n}\) oznaczmy sumę jego n początkowych wyrazów.
Suma zgromadzona w jego banku pod koniec jego 65. roku życia to \(\displaystyle{ S_{40}=a_1\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} = 4800 \cdot \frac{1.06^{40}-1}{0.06}=742857.43}\)

Nie wiem, czy rozumiesz, dlaczego tak jest.

Otóż \(\displaystyle{ a_n}\) jest równa kwocie 4800zł wpłaconej na 6-procentową lokatę pod koniec 1. roku i wypłaconej pod koniec n-tego roku. Albo inaczej: wpłaconej w roku \(\displaystyle{ 41-n}\) i wypłaconej w roku \(\displaystyle{ 40}\). Stąd suma pieniędzy w jego banku pod koniec jego 65. roku życia to właśnie \(\displaystyle{ S_{40}}\).

Aby obliczyć jego roczną emeryturę, wprowadźmy ciąg geometryczny \(\displaystyle{ (b_n)}\), taki że:
\(\displaystyle{ q=1.06 \ \wedge \ Z_{25}=742857.43 \cdot q^{25}}\), gdzie \(\displaystyle{ Z_n}\) to suma n początkowych wyrazów tego ciągu. Wówczas \(\displaystyle{ b_1}\) będzie rozwiązaniem.
Uzasadnienie: oznaczmy jego roczną emeryturę przez x, i policzmy po kolei ile ma na koncie:
w roku 65.: \(\displaystyle{ S_{40}}\)
w roku 66: \(\displaystyle{ S_{40}q-x}\)
w roku 67: \(\displaystyle{ (S_{40}q-x)q-x}\)
...
w roku 90: \(\displaystyle{ (...((S_{40}q-x)q-x)...)q-x = 0}\)
To równanie dla sumy na jego koncie w roku 90. jest równaniem 25. stopnia względem q,
dokładniej, po wymnożeniu nawiasów dostajemy
\(\displaystyle{ S_{40}q^{25} - xq^{24} - xq^{23} - ... -xq-x=0 \\
S_{40}q^{25} = x (1+q+q^2+...+q^{24}) = x\cdot \frac{q^{25}-1}{q-1}}\)
Widzimy, że wyrażenie po prawej to suma pierwszych 25 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest pierwszym wyrazem, natomiast \(\displaystyle{ q}\) jest iloczynem. Rozwiązując to wychodzi nam \(\displaystyle{ x=58111.30}\). Zdaje się, że jest to dokładnie o 6% więcej, niż podają odpowiedzi w Twojej książce. Jeśli znajdziesz błąd albo inne, lepsze rozwiązanie, napisz

[Mariusz1234]

Chciałbym odświeżyć ten temat i prosiłbym o potwierdzenie czy moje rozumowanie jest dobre.

Skupmy się tylko na rocznej wypłacie emerytury począwszy od początku 66 roku życia.

Po 65 latach palacz zaoszczędziłby \(\displaystyle{ S_{40} \approx 742857,44}\)

Następnie na początku 66 roku życia dostałby roczną wypłatę emerytury. Oznaczamy przez x.

\(\displaystyle{ n = 1 \quad \quad \quad S_{40} - x}\)

\(\displaystyle{ n = 2 \quad \quad \quad (S_{40} - x)1,06 - x = 1,06S_{40} - x(1 + 1,06)}\)

\(\displaystyle{ n = 3 \quad \quad \quad ((S_{40} - x)1,06 - x)1,06 - x = 1,06^2S_{40} - x(1 + 1,06 + 1,06^2)}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ n = n \quad \quad \quad 1,06^{n-1}S_{40} - x(1 + 1,06 +...+1,06^{n - 1})}\)

Następnie kiedy dostanie po 25 latach ostatnią część emerytury pozostanie 0, czyli :

\(\displaystyle{ 1,06^{24}S_{40} - x(1 + 1,06 +...+1,06^{24}) = 0}\)

Zapis \(\displaystyle{ 1 + 1,06 +...+1,06^{24}}\) jest równoważny temu \(\displaystyle{ \frac{1 - 1,06^{25}}{1 - 1,06}}\)

Po podstawieniu mamy \(\displaystyle{ x \approx 54821.98}\)