Twierdzenie greena

[bum]

Witam

Mam takie zadanie:
Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{L}^{} (xy+x) \mbox{d}x +(yx-y) \mbox{d}y}\), gdzie L jest okręgiem skierowanym dodatnio o równaniu

\(\displaystyle{ x^2+y^2=36}\)

Czyli jest to okrąg o środku (0,0) i promieniu 6. Dodatnio, czyli w przeciwną stronę niż wskazówki zegara. Można zastosować wzór Greena bez zmiany znaku na końcu.

Po obliczeniu pochodnych wychodzi mi całka:
\(\displaystyle{ \int_{D}^{} \int (y-x) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Przechodzę na współrzędne sferyczne:
\(\displaystyle{ x=r \cos y \\
y=r \sin y}\)
podstawiam:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} \int_{0}^{2 \pi } r^2( \sin y - \cos y ) \mbox{d}y \mbox{d}r}\)

po wyliczeniu wynik mi wychodzi -144, a w dop. jest 0. Może ktoś to sprawdzić?

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ \int \limits_{0}^{6} \int \limits_{0}^{2 \pi } r^2( \sin \varphi - \cos \varphi ) \mbox{d}\varphi \mbox{d}r=\int \limits_{0}^{6} r^2 \left (- \cos \varphi \left |_{0}^{2 \pi} \right. - \sin \varphi \left |_0^{2\pi} \right. \right ) \mbox{d}r=\int \limits_0^6 r^2 \cdot 0 \, dr}\)