Podaj zwarty wzór na sumę:

[Heniek1991]

Nie bardzo wiem jak uderzyć w te sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2*n}{n \choose k} (3^k-4^n)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}(-1)^k{n \choose k} {n \choose m-k}}\)

W pierwszej wiadomo, że problemem jest tylko składnik \(\displaystyle{ 3^k*{n \choose k}}\) a w drugiej gdy m jest nieparzyste to wynikiem jest 0. Więcej nie wymyśliłem, proszę o jakieś wskazówki.

[Crizz]

Hmmm... no w pierwszym mogę tylko podpowiedzieć, że \(\displaystyle{ 3^k=3^k \cdot 1^{n-k}}\). Co się dzieje dla \(\displaystyle{ k>n}\)?

[Heniek1991]

Przecież jak \(\displaystyle{ k > n}\) to współczynnik dwumianowy się zeruje, więc to nie ma wpływu na sumę.

-- 9 sie 2011, o 23:16 --

A już zczaiłem, twierdzenie o dwumianie załatwia sprawę. No to jeszcze druga została

-- 10 sie 2011, o 13:37 --

Mam jeszcze jedną sumę, której nie wiem jak rozwiązać:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} {n \choose 2 \cdot k}2^{2 \cdot k}}\)

Gdyby nie były tylko parzyste, to oczywiście byłoby łatwe, ale w tej sytuacji to nie mam pomysłu.

[macciej91]

Heniek: Rozważ sobie wzory:
\(\displaystyle{ (a+b)^n, (a-b)^n}\).
W drugim po rozwinięciu na miejscach parzystych występuje znak -. Oznacza to, że jeśli odejmiesz od pierwszego drugi, to znikną ci miejsca nieparzyste.

[King James]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}(-1)^k{n \choose k} {n \choose m-k} = \begin{cases} (-1)^{\frac{m}{2}}{n \choose \frac{m}{2}} \ \ \text{gdy} \ 2 \ | \ m \\ 0 \qquad \qquad \quad \text{gdy} \ 2 \not | \ m \end{cases}}\)

Rozważ współczynnik przy \(\displaystyle{ x^m}\) w splocie funkcji \(\displaystyle{ (1-x)^n}\) i \(\displaystyle{ (1+x)^n}\).