Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie

[Anka20]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+ \left( \frac{4-3t}{3-4t} \right) ^{2} } \cdot (-3) \cdot \frac{1}{16t ^{2} }}\)

[ares41]

Nie.
Ile tutaj wynosi pochodna funkcji wewnętrznej? Tylko rozpisz to krok po kroku, to zauważysz co robisz źle.

[Anka20]

my nie rozroznialismy na fukcje wew i zew dali nam zadania i tyle wew to \(\displaystyle{ \arctan}\)?

[ares41]

Nie. Funkcja wewnętrzna tutaj to \(\displaystyle{ \frac{4-3t}{3-4t}}\).
Ile wynosi jej pochodna?

[Anka20]

\(\displaystyle{ \frac{-3 \cdot (3-4t)-(4-3t) \cdot (-4)}{(3-4t) ^{2} } = \frac{7}{(3-4t) ^{2}}}\)

[ares41]

Zgadza się. Ile więc wynosi pochodna
\(\displaystyle{ \arctan \frac{4-3t}{3-4t}}\)
?

[Anka20]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+ \left( \frac{4-3t}{3-4t} \right) ^{2} } \cdot \frac{7}{(3-4t) ^{2}}}\)

[ares41]

Tak. Teraz uprość co się da i wrzuć to do swojej granicy.

[Anka20]

wyszlo mi \(\displaystyle{ \frac{7}{25}}\) a wiesz jak to zrobic z jakiegos grad?

[ares41]

wyszlo mi \(\displaystyle{ \frac{7}{25}}\)

Tak.

wiesz jak to zrobic z jakiegos grad?

To jest właśnie ta metoda, o której pisałem w pierwszym poście.

[Anka20]

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}=- \frac{y}{x ^{2} } \cdot \arctan \frac{1}{1+ \left( \frac{y}{x} \right) ^{2} } \\
\frac{ \partial f}{ \partial x} \left( 3,4 \right) =- \frac{4}{9} \cdot \arctan \frac{9}{25} \\
\frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{1}{x} \cdot \arctan \frac{1}{1+ \left( \frac{y}{x} \right) ^{2} } \\
\frac{ \partial f}{ \partial y} \left( 3,4 \right) = \frac{1}{3} \cdot \arctan \frac{9}{25}}\)
i co dalej?

[ares41]

Źle. Ile wynosi pochodna z \(\displaystyle{ \arc\tg t}\) ?

[Anka20]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+t ^{2} }}\)

[ares41]

Więc dlaczego u Ciebie wynosi \(\displaystyle{ \arc \tg \frac{1}{1+t^2}}\) ?

[Anka20]

bezmyslnosc
czyli
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} \left( 3,4 \right) =- \frac{4}{25} \\
\frac{ \partial f}{ \partial y} \left( 3,4 \right) = \frac{3}{25}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \text{grad} f \left( 3,4 \right) = \left( - \frac{4}{25} , \frac{3}{25}\right)}\)