Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

[dawid18db]

Wyznaczyć ekstemum funkcji \(\displaystyle{ F(x,y)= \frac{1+x+y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}}\). Proszę o pomoc!. Pierwszą pochodną obliczam z ilorazu pochodnych, ale nie jestem pewien co do wyniku...

[ares41]

Pokaż swoje obliczenia, sprawdzimy.

[dawid18db]

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}=\frac{[1+x-y]^{\prime} \cdot \sqrt{1+x^2+y^2}-(1+x-y) \cdot [ \sqrt{1+x^2+y^2}]^{\prime}}{1+x^2+y^2}= \frac{\sqrt{1+x^2+y^2}-\frac{x+x^2-xy}{{\sqrt {1+x^2+y^2}}}}{1+x^2+y^2}=\frac{\frac{1+x^2+y^2-x+x^2-xy}{\sqrt{1+x^2+y^2}}}{1+x^2+y^2}=\frac{1+x^2+y^2-x+x^2-xy}{\sqrt{1+x^2+y^2} \cdot (1+x^2+y^2)}}\)
w tym momencie się zatrzymałem, mogę to skrócić?

[ares41]

Po trzecim znaku równości jest błąd.
Wskazówka: \(\displaystyle{ a-(-b)=a+b}\)

[dawid18db]

Faktycznie, poprawiłem
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1+x^2+y^2-x-x^2+xy}{\sqrt{1+x^2+y^2}}}{1+x^2+y^2}=\frac{y^2+xy-x+1}{\sqrt{1+x^2+y^2} \cdot (1+x^2+y^2)}}\)

[ares41]

Sorki, że dopiero teraz, a właśnie zauważyłem, że źle przepisałeś swój przykład. Porównaj wyjściową funkcję z tym co napisałeś po pierwszym znaku równości.

[dawid18db]

No problem, wszystko przez pospiech... Teraz powinno się zgadzać, nie dam sobie ręki uciąć, bo już jestem wymęczony. \(\displaystyle{ \frac{\frac{1+x^2+y^2-x-x^2-xy}{\sqrt{1+x^2+y^2}}}{1+x^2+y^2}=\frac{y^2-xy-x+1}{\sqrt{1+x^2+y^2} \cdot (1+x^2+y^2)}}\)

[ares41]

Teraz jest Ok. Policz więc jeszcze pochodną po igreku.

[dawid18db]

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}=\frac{x^2-xy-y+1}{{\sqrt{1+x^2+y^2} \cdot (1+x^2+y^2)}}}\)
Teraz wyznaczam punkty stacjonarne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2-xy-x+1=0\\x^2-xy-y+1=0/ \cdot (-1)\end{cases} \\
\begin{cases} y^2-xy-x+1=0\\-x^2+xy+y-1=0\end{cases} \\
\begin{cases} y^2-x=0\\-x^2+y=0\end{cases} \\
y=x^2 \\
(x^2)^2-x=0 \\
x(x^3-1)=0 \\
x(x-1)(x^2 + x +1)=0 \\
x=0 \text{ lub } x=1\\
y=0 \text{ lub }y=1\\
P_{1}=(0,0) \\
P_{2}=(1,1)}\)

Druga pochodna: najpierw z iloczynu policzyć mianownik a potem iloraz czy od razu z ilorazu?

[ares41]

Mianownik możesz zapisać jako:
\(\displaystyle{ (1+x^2+y^2)^{ \frac{3}{2} }}\)

[dawid18db]

Fakt.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2 f}{ \partial x^2}=\frac{(y-1) \cdot (1+x^2+y^2)^\frac{3}{2}-(y^2+xy-x+1) \cdot \frac{3}{2}(1+x^2+y^2)^\frac{1}{2}}{(1+x^2+y^2)^3}}\) w tym momencie zaczynają się schody:P. Zamienić wyrażenia w liczniku na pierwiastki?

[ares41]

Nie do końca dobrze. Przypomnij sobie jak liczy się pochodne funkcji złożonej.

[dawid18db]

Ahhhh... \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2 f}{ \partial x^2}=\frac{(-y-1) \ (1+x^2+y^2)^\frac{3}{2}-(y^2-xy-x+1) 3x(1+x^2+y^2)^\frac{1}{2}}{(1+x^2+y^2)^3}}\)

[ares41]

Można próbować coś upraszczać, ale ja bym zostawił i liczył na to, że potem w wyznaczniku się coś uprości.

[dawid18db]

Ok, więc liczę pozostałem pochodne:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2 f}{ \partial y^2}= \frac{(-x-1) \cdot (1+x^2+y^2)^\frac{3}{2}-(x^2-xy-y+1) \cdot 3y(1+x^2+y^2)^\frac{1}{2}}{(1+x^2+y^2)^3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2 f}{ \partial y \partial x}=\frac{(2y-x) \cdot (1+x^2+y^2)^\frac{3}{2}- (y^2-xy-x+1) \cdot 3y(1+x^2+y^2)^\frac{1}{2}}{(1+x^2+y^2)^3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2 f}{ \partial x \partial y}=\frac{(2x-y) \cdot (1+x^2+y^2)^\frac{3}{2}- (x^2-xy-y+1) \cdot 3x(1+x^2+y^2)^\frac{1}{2}}{(1+x^2+y^2)^3}}\)

Teraz tworzę wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}(y-1) \ (1+x^2+y^2)^\frac{3}{2}-(y^2+xy-x+1) 3x(1+x^2+y^2)^\frac{1}{2}& (2y-x) \cdot (1+x^2+y^2)^\frac{3}{2}- (y^2-xy-x+1)... \\(2x-y) \cdot (1+x^2+y^2)^\frac{3}{2}- (x^2-xy-y+1)...& (x-1) \cdot (1+x^2+y^2)^\frac{3}{2}-(x^2-xy-y+1)...\end{array}\right|}\)

Podstawiam współrzędne punktów do wyznacznika:

-- 29 sie 2011, o 15:04 --

Dla \(\displaystyle{ P_{1}=(0,0)}\)
\(\displaystyle{ detA\left|\begin{array}{cc}-2&-1\\-1&-2\end{array}\right|=3>0}\)- jest ekstremum
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2 f}{ \partial x^2}(0,0)=-2<0}\)- funkcja f w punkcie (0,0) osiąga maksimum.-- 29 sie 2011, o 15:27 --W drugiej pochodnej po x i y był mały błąd, już poprawiłem:). Z resztą poczekam na weryfikacje.