Mam pytanie: czy z formuły \(\displaystyle{ \forall x\exists y\((R(x, y) \to P(x))}\) wynika formuła
\(\displaystyle{ \forall x\exists y\ R(x, y)\to \forall x\ P(x)}\) ?
Z jednej strony mamy kwantyfikator ogólny, ale w pierwszej formule wszystkie zmienne są również w zasięgu kwantyfikatora egzystencjalnego.
Gdyby ktoś mógł mi pomóc, byłbym wdzięczny
Prawo rozkładania kwantyfikatorów
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Prawo rozkładania kwantyfikatorów
Nie wynika.
1. Niech zmienne \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{N}}\).
2. Zauważ, że formuła \(\displaystyle{ \forall x\exists y(R(x, y) \to P(x))}\) jest równoważna formule \(\displaystyle{ \forall x((\forall y R(x, y)) \to P(x))}\).
3. Niech \(\displaystyle{ R(x,y)=(x\le y)}\) i \(\displaystyle{ P(x)=(x=0)}\). Wtedy zdanie \(\displaystyle{ \forall x\in \mathbb{N}((\forall y\in \mathbb{N}\ x\le y) \to x=0)}\) jest prawdziwe.
4. Z kolei zdanie \(\displaystyle{ \forall x\in \mathbb{N}\ \exists y\in \mathbb{N}\ x\le y\to \forall x\in \mathbb{N}\ x=0}\) jest fałszywe.
JK
1. Niech zmienne \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{N}}\).
2. Zauważ, że formuła \(\displaystyle{ \forall x\exists y(R(x, y) \to P(x))}\) jest równoważna formule \(\displaystyle{ \forall x((\forall y R(x, y)) \to P(x))}\).
3. Niech \(\displaystyle{ R(x,y)=(x\le y)}\) i \(\displaystyle{ P(x)=(x=0)}\). Wtedy zdanie \(\displaystyle{ \forall x\in \mathbb{N}((\forall y\in \mathbb{N}\ x\le y) \to x=0)}\) jest prawdziwe.
4. Z kolei zdanie \(\displaystyle{ \forall x\in \mathbb{N}\ \exists y\in \mathbb{N}\ x\le y\to \forall x\in \mathbb{N}\ x=0}\) jest fałszywe.
JK