całka potrójna - kula

[kielbasa]

Mamy taką całkę :

\(\displaystyle{ \iiint\limits_V \sqrt{x^{2} +y^{2} + z^{2}} \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)

gdzie \(\displaystyle{ V=\left\{ \left( x,y,z\right) \in R^{3} :x^{2}+y^{2}+z^{2}-y \le 0 \right\}}\)

Rozumiem że zapisujemy to tak :

\(\displaystyle{ x^{2}+\left( y- \frac{1}{2} \right)^{2}+z^{2} \le \left( \frac{1}{2}\right) ^{2}}\)

I nasza kula ma środek w \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{1}{2} ,0\right)}\) oraz promień równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Wprowadzamy współrzędne sferyczne :

\(\displaystyle{ x=r\, \sin\theta \, \cos\phi \\ y=r\, \sin\theta \, \sin\phi \\ z=r\, \cos\theta}\)

I teraz pytanie ... Jak wyczytać z rysunku granice całkowania dla \(\displaystyle{ r, \theta, \phi}\) ?

rysunek :



Jakieś pomysły ?

[Chromosom]

Najpierw granice dla \(\displaystyle{ r}\) wyznacz. Rozwiązywałeś kiedyś zadania z przesuniętym w ten sposób okręgiem? w tym przypadku procedura jest podobna.

[kielbasa]

wyznaczałem i wiem że robi się trójkąt prostokątny i za pomocą funkcji trygonometrycznej się go opisuje ... mam racje ?



\(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{r}{1}}\)

[Chromosom]

Zgadza się. Zrób zatem tak jak mówisz.

[kielbasa]

\(\displaystyle{ 0 \le r \le \cos \theta}\)

Czy tak prawidłowo ?

[Chromosom]

Bardzo podobnie, ale jednak trochę inaczej. Zauważ że w tym przypadku dla \(\displaystyle{ \theta=0}\) promień jest zerowy, popraw zatem swój wzór. I oczywiście taka sytuacja występuje tylko przy \(\displaystyle{ \phi=\frac\pi2}\), ale wpływ tej zmiennej można uwzględnić później. Jest to geometryczna metoda wyznaczenia granic całkowania; wynik można też uzyskać posługując się równaniami tej bryły.

[kielbasa]

nie za bardzo rozumiem co masz na myśli . Fajnie byłoby jak byś mógł mi to jakoś pokazać na przykładzie albo naprowadzić ... naprawdę mam z tym problem.-- 24 sie 2011, o 22:04 --

Bardzo podobnie, ale jednak trochę inaczej. Zauważ że w tym przypadku dla \(\displaystyle{ \theta=0}\) promień jest zerowy, popraw zatem swój wzór...

Jeśli chodzi o

\(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{r}{1}}\) to promień chyba nie będzie zerowy ... nie rozumiem zbytnio o co chodzi...

[Chromosom]

Czy musisz rozwiązać to zadanie geometrycznie? znacznie szybciej byłoby podstawić do równania powierzchni nowe zmienne.

nie za bardzo rozumiem co masz na myśli . Fajnie byłoby jak byś mógł mi to jakoś pokazać na przykładzie albo naprowadzić ... naprawdę mam z tym problem.

Zaczynasz od \(\displaystyle{ \theta=0}\) i wtedy promień jest zerowy. Potem gdy \(\displaystyle{ \theta}\) dąży do \(\displaystyle{ \frac\pi2}\) promień zwiększa się, aż osiąga wartość 1. Możesz tego nie wiedzieć, więc powiem Ci że odpowiednie równanie ma postać \(\displaystyle{ r(\theta)=\sin\theta}\). Taka sytuacja jest dla \(\displaystyle{ \phi=0}\) ponieważ promień największego okręgu jest różny dla różnego \(\displaystyle{ \phi}\). Musisz więc znaleźć bardziej ogólne równanie, w którym to uwzględnisz. Zdaję sobie sprawę że to wytłumaczenie może być niezrozumiałe, więc napisz jeśli coś sprawia Ci problem, wtedy dokładniej opiszę tę część rozwiązania.

[kielbasa]

to jest jakaś masakra nic nie rozumiem ... nie mam pojęcia jak wyznaczyć te granice całkowania ... a zadanie nie muszę rozwiązywać geometrycznie ale rysunek miał za zadanie mi pomóc ale jakoś nie odgrywa swojej roli odpowiednio

[Chromosom]

podstaw zatem do tego równania:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}-y \le 0}\)

współrzędne sferyczne zgodnie z ich definicją

[johny42]

Mam pytanie jeszcze co do tego zadania podstawie wspolrzedne sferyczne do rownania i wychodzi mi
\(\displaystyle{ r-\cos \theta \le 0\\r \le \cos \theta}\)
Mam wiec granice dla r, a jak postepowac w przypadku wyznaczania granic dla \(\displaystyle{ \theta}\)?

[Chromosom]

Granice dla \(\displaystyle{ r}\) nie są poprawnie określone. Skorzystaj z wiadomości które już tutaj zamieściłem. Granice kątów można szybko wyznaczyć na podstawie rysunku.

[johny42]

Granica dla r bedzie \(\displaystyle{ r\le \sin\theta \sin\phi}\) tak? A katy \(\displaystyle{ \theta \in \left[ 0, \frac{\pi }{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ \phi \in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]}\) ? I jest jakis inny sposob wyznaczania katow niz robienia tego z rysunku?

[Chromosom]

prawie dobrze, tylko że \(\displaystyle{ \theta\in\left[0,\,\pi]}\) oraz \(\displaystyle{ \phi\in\left[0,\,\pi\right]}\) (popatrz na rysunek)

[johny42]

Ok juz widze. I jeszcze raz zapytam czy mozna katy wyznaczac w inny sposob niz z rysunku?