Całka nieoznaczona.
Całka nieoznaczona.
Witam. Chciałem spytać czy dobrze rozwiązałem, czy gdzieś się walnąłem? Pozdrawiam:)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x} dx}{(x+1)^2} = \left|\begin{array}{c}x=t^2\\dx=2tdt\end{array}\right| = 2 \int \frac{t^2 dt}{(t^2 + 1)^2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \int \frac{t^2 dt}{(t^2 + 1)^2} = 2 \int \frac{t^2 + 1}{(t^2 +1)^2}dt - 2\int \frac{dt}{(t^2 +1)^2} =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \arctan t + \frac{2}{t^2 +1} + C = 2 \arctan \sqrt{x} + \frac{2}{x+1} +C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x} dx}{(x+1)^2} = \left|\begin{array}{c}x=t^2\\dx=2tdt\end{array}\right| = 2 \int \frac{t^2 dt}{(t^2 + 1)^2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \int \frac{t^2 dt}{(t^2 + 1)^2} = 2 \int \frac{t^2 + 1}{(t^2 +1)^2}dt - 2\int \frac{dt}{(t^2 +1)^2} =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \arctan t + \frac{2}{t^2 +1} + C = 2 \arctan \sqrt{x} + \frac{2}{x+1} +C}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Całka nieoznaczona.
Masz błąd już na samym początku, bo podstawiasz \(\displaystyle{ x=t^2}\), a potem masz \(\displaystyle{ 2 \int \frac{t^2 \mbox{d}t}{(t^2 + 1)^2}}\), czyli \(\displaystyle{ t^2=\sqrt x}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 113
- Rejestracja: 23 lis 2010, o 17:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 20 razy
Całka nieoznaczona.
To akurat jest dobrze, bo dochodzi jeszcze \(\displaystyle{ \mbox{d}x =2t \mbox{d}t}\), dlatego w liczniku jest \(\displaystyle{ t^2}\), natomiast źle policzona jest całka \(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}t }{(t^2 +1)^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Całka nieoznaczona.
Pewnie można też inaczej, ale robiłam to tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(t^2+1)^2} \mbox{d}t \\ u=\arc\tg t \\
t=\tg u \\
\mbox{d}t=\frac{1}{\cos^2 u} \mbox{d}u\\
\\
t^2+1=\tg^2 u+1=\frac{\sin^2u}{\cos^2u}+\frac{\cos^2u}{\cos^2u}=\frac{1}{\cos^2 u} \\
\frac{1}{\tg^2u+1}=\cos^2 u}\)
No to \(\displaystyle{ \int \cos^2 u \mbox{d} u}\) liczysz przez podstawienie \(\displaystyle{ v=\cos u}\).
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(t^2+1)^2} \mbox{d}t \\ u=\arc\tg t \\
t=\tg u \\
\mbox{d}t=\frac{1}{\cos^2 u} \mbox{d}u\\
\\
t^2+1=\tg^2 u+1=\frac{\sin^2u}{\cos^2u}+\frac{\cos^2u}{\cos^2u}=\frac{1}{\cos^2 u} \\
\frac{1}{\tg^2u+1}=\cos^2 u}\)
No to \(\displaystyle{ \int \cos^2 u \mbox{d} u}\) liczysz przez podstawienie \(\displaystyle{ v=\cos u}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Całka nieoznaczona.
Rzeczywiście jest. Dopadłam wreszcie swoją kartkę ze wzorami z całek i znalazłam:aalmond pisze:Można też przez części. Do tego typu całek jest gotowy wzór rekurencyjny.
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^2+1} \mbox{d}x =\arc\tg x+C \\ \int \frac{1}{\left( x^2+1\right)^n } \mbox{d}x = \frac{1}{2n-2} \cdot \frac{x}{\left( x^2+1\right)^{n-1} } + \frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{\left( x^2+1\right)^{n-1} } \mbox{d}x}\)