Właściwości liczb zespolonych na płaszczyźnie

[aniaaa1990]

Cześć .
To jest mój pierwszy post na forum więc proszę o wyrozumiałość.

Zadanie:
Na płaszczyźnie zaznaczono punkty odpowiadające liczbom zespolonym \(\displaystyle{ z_1,\ldots , z_6}\)
Są one kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego o boku 1. Niech:

\(\displaystyle{ w=\frac{1}{6} \left( z_1+\ldots+z_6 \right)}\)

Pytanie:
Czy \(\displaystyle{ w=\frac{z_1+z_3+z_5}{3}}\).
Wiem, że odpowiedź jest tak ale nie wiem dlaczego . Pewnie trzeba tu korzystać z jakieś własności ale nie mam pojęcia z jakiej. Próbowałam sprawdzić na przykładzie:

Niech:
\(\displaystyle{ z_1= \left( 0,0i \right) \\
z_2= \left( 0,1i \right) \\
z_3= \left( \frac{1}{2}, \left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right) i \right) \\
z_4= \left( 1,1i \right) \\
z_5= \left( 1,0i \right) \\
z_6= \left( \frac{1}{2}, -\sqrt{3}i \right)}\)

Zaczepiłam \(\displaystyle{ z_1}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0i)}\) a kolejne na prawo od niego tak by był to sześciokąt foremny o boku 1.

Tu jest narysowany bo nie wiem jak go narysować znaczkami: .

No i teraz sprawdzam:
\(\displaystyle{ w=\frac{z_1+z_2+z_3+z_4+z_5+z_6}{6} = \frac{0+0i+0+1i+\frac{1}{2}+ \left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right) i +1+1i+1+0i+\frac{1}{2}+ (-\sqrt{3}i ) }{6}=\frac{3+3i}{6}}\)
Natomiast
\(\displaystyle{ \frac{z_1+z_3+z_5}{3}=\frac{0+0i+\frac{1}{2}+ \left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right) i + 1 + 0i}{3}=\frac{\frac{3}{2} + \left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right) i}{3}\neq w}\)

Zatem \(\displaystyle{ w \neq \frac{z_1+z_3+z_5}{3}}\)
W odpowiedziach jest TAK .
Gdzie robię błąd albo jak się za to zabrać inaczej??

[frej]

Ustaw ten sześciokąt tak, aby punkt przecięcia przekątnych był w \(\displaystyle{ (0,0)}\) a dwa wierzchołki w \(\displaystyle{ (1,0)}\) i \(\displaystyle{ (-1,0)}\). Zauważ, że sześciokąt ten jest środkowo symetryczny.

[aniaaa1990]

Też tak myślałam na początku ale w zadaniu nie jest napisane, że on ma być umieszczony symetrycznie względem (0,0), zakładam, że ma działać dla dowolnego. Dla "w miarę dowolnego" niestety nie działa .

Jeszcze jedna rzecz - wydaje mi się, że to trzeba jakimś sposobem, bo to zadanie ma więcej podpunktów:
Czy prawdą jest, że:

b) \(\displaystyle{ \frac{z3-w}{z1-w}=\left(\frac{z2-w}{z1-w}\right)^{2}}\)
c) \(\displaystyle{ z3 \neq w}\)
d) \(\displaystyle{ \frac{z2-w}{z1-w} \cdot \frac{z5-w}{z1-w}=1}\)

[frej]

Najłatwiej zrobić to tak:
Bierzemy punkt \(\displaystyle{ u}\), który będzie środkiem symetrii tego sześciokąta. Wtedy zachodzą równości: \(\displaystyle{ 2u=z_i + z_{i+3}}\) gdzie indeksy są brane \(\displaystyle{ \pmod {6}}\), tzn. \(\displaystyle{ 4+3 \equiv _{6} 1}\) oraz \(\displaystyle{ z_{i} -u = \left( z_1 -u \right) \cdot e^{(i-1) \frac{\pi }{3}}}\). Wtedy łatwo już dokończyć.

Stosując rozumowanie geometryczne, jest banalnie, gdyż \(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^6 z_1 }{6}}\) to środek ciężkości sześciokąta, a \(\displaystyle{ \frac{z_1 + z_3 + z_5}{3}}\) to środek ciężkości trójkąta \(\displaystyle{ \triangle Z_1 Z_3 Z_5}\). Przy translacji i obrocie środki ciężkości starych figur przechodzą na środki ciężkości nowych, więc wystarczy sprawdzić czy teza jest prawdziwa w sytuacji, o której pisałem w poprzednim poście.

Pozdrawiam

[aniaaa1990]

Dzięki bardzo, jeszcze sobie sprawdzę .

A wiesz jak ruszyć z pozostałymi podpunktami?
Wszystko się będzie opierać na manipulowaniu środkiem ciężkości tego sześciokąta??

[frej]

c) wierzchołek nie może być środkiem ciężkości figury wypukłej.
d) to jest warunek na równość odpowiednich kątów, podobnie jak w b)
b) ta równość oznacza, że kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{Z_2W}}\) a \(\displaystyle{ \vec{Z_1W}}\) jest dwa razy mniejszy od kąta między \(\displaystyle{ \vec{Z_3W}}\) i \(\displaystyle{ \vec{Z_1W}}\)

Oczywiście zamiast interpretować geometrycznie można przeliczyć przy pomocy " górnej " metody z poprzedniego posta.

[aniaaa1990]

Dziękuje, spróbuje to sobie przetrawić.

[frej]

Spoko, ogólnie polecam metodę geometryczną w liczbach zespolonych, zawsze ułatwia ominąć lub bardzo zmniejszyć uciążliwe rachunki rachunki. I co do tych kątów: tu ta równość oznacza równość kątów, bo moduły obu stron są równe. W ogólności równość d) oznacza podobieństwo odpowiednich trójkątów.