Mam takie równanie do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=\cos(x-y)}\)
nie wiem jak się za nie zabrać i tej postaci tutaj \(\displaystyle{ f(x)=ax+by+c}\) tez za bardzo nie widze.. bardzo proszę o pomoc bo zatrzymałam się w miejscu i nie mogę dalej z przykładami ruszyć
i wskazówki do tych dwóch przykładów jeszcze by mi się przydały (reszta w poleceniu jest już analogiczna)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= (8x+2y-3)^{2}}\)
i taki jeszcze:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= (x-y)^{2}+1}\) *poprawiony zapis
równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 14:54 przez mikaaa_91, łącznie zmieniany 1 raz.
-
kolorowe skarpetki
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
Podstawiasz nową zmienną : \(\displaystyle{ z=ax+by+c}\), różniczkujesz \(\displaystyle{ z'=a+by'}\) i wyliczasz \(\displaystyle{ y'}\). Wstawiasz \(\displaystyle{ z}\) i obliczone \(\displaystyle{ y'}\) do równania i otrzymujesz równanie o zmiennych rozdzielonych.
Przykład 1 : \(\displaystyle{ z=x-y}\),
Przykład 2 : \(\displaystyle{ z=8x+2y-3}\),
Przykład 3 : coś tu jest nie tak, dwa razy \(\displaystyle{ =}\).
Przykład 1 : \(\displaystyle{ z=x-y}\),
Przykład 2 : \(\displaystyle{ z=8x+2y-3}\),
Przykład 3 : coś tu jest nie tak, dwa razy \(\displaystyle{ =}\).
równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
zaczęłam liczyć przykład 1, podstawiam wszystko tak jak wyżej jest napisane, ale nie bardzo wiem co w ktorym momencie do czego podstawić ;/
w pewnym momencie na końcu wychodzi całka \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dz}{ \frac{cosz-1}{cosz} }}\) wiec jakies bzdury kompletne... ;/;/ moglby ktos opisac to krok po kroku?
oto krok po kroku jak liczyłam drugi przykład, bardzo proszę o pokazanie w którym momencie robię błąd i jak rozwiązać to poprawnie, wiem, że w ktorymś momencie do tego kwadratu muszę wrócić ale nie wiem kiedy:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= (8x+2y-2)^{2}
u=8x+2y-3
\frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }}= 8+2\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }
\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= \frac{1}{2} \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }-4
\frac{1}{2} \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }-4= f(u)}\)
od tego momentu myślę , że mam błąd , co konkretnie mam podstawić za f(u)? czy jakos to inaczej oznaczać?
Prosilabym kogoś o poprawe zapisu du/dx to jedynie ulamek, nie umiem napisać formuły tak żeby to dorbze wyglądało, a w ostatnim 1/2 jest jedynie ulamkiem , ta dluga kreska niepotrzebna-- 27 sie 2011, o 16:24 --i jeszcze taki przykład jednorodnego:
\(\displaystyle{ y^{2}+x^{2}=2xy \cdot \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }}\)
Najpierw dziele obustronnie przez 2xy, następnie podstawiam
\(\displaystyle{ u= \frac{y}{x} \Rightarrow y=x \cdot u}\) iloczyn rozniczkuje: \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=x \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } +u}\) dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }+u= \frac{1}{2}u+ \frac{1}{2u}}\)
z takiej postaci próbuje rozdzielić zmienne ale wychodzi mi jedynie coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{u}{2 \mbox{d}u }- \frac{1}{2u \mbox{d}u } = - \frac{x}{ \mbox{d}x }}\)
nie wiem co z tym zrobić. Wydaje mi się, że w każdym przykładzie popełniam bardzo podobny błąd....
w pewnym momencie na końcu wychodzi całka \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dz}{ \frac{cosz-1}{cosz} }}\) wiec jakies bzdury kompletne... ;/;/ moglby ktos opisac to krok po kroku?
oto krok po kroku jak liczyłam drugi przykład, bardzo proszę o pokazanie w którym momencie robię błąd i jak rozwiązać to poprawnie, wiem, że w ktorymś momencie do tego kwadratu muszę wrócić ale nie wiem kiedy:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= (8x+2y-2)^{2}
u=8x+2y-3
\frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }}= 8+2\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }
\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= \frac{1}{2} \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }-4
\frac{1}{2} \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }-4= f(u)}\)
od tego momentu myślę , że mam błąd , co konkretnie mam podstawić za f(u)? czy jakos to inaczej oznaczać?
Prosilabym kogoś o poprawe zapisu du/dx to jedynie ulamek, nie umiem napisać formuły tak żeby to dorbze wyglądało, a w ostatnim 1/2 jest jedynie ulamkiem , ta dluga kreska niepotrzebna-- 27 sie 2011, o 16:24 --i jeszcze taki przykład jednorodnego:
\(\displaystyle{ y^{2}+x^{2}=2xy \cdot \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }}\)
Najpierw dziele obustronnie przez 2xy, następnie podstawiam
\(\displaystyle{ u= \frac{y}{x} \Rightarrow y=x \cdot u}\) iloczyn rozniczkuje: \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=x \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } +u}\) dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }+u= \frac{1}{2}u+ \frac{1}{2u}}\)
z takiej postaci próbuje rozdzielić zmienne ale wychodzi mi jedynie coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{u}{2 \mbox{d}u }- \frac{1}{2u \mbox{d}u } = - \frac{x}{ \mbox{d}x }}\)
nie wiem co z tym zrobić. Wydaje mi się, że w każdym przykładzie popełniam bardzo podobny błąd....
-
kolorowe skarpetki
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
Przykład 2 :
W przykładzie 1 dochodzimy do postaci :
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=(8x+2y-3)^2}\)
\(\displaystyle{ z=8x+2y-3 \, \Rightarrow \, z'=8+2y' \, \Rightarrow \, y'=\frac{z'-8}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{z'-8}{2}=z^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4+z^2} dz=dx \quad \big / ^{\int}}\)
Całkę po lewej stronie można rozwiązać za pomocą \(\displaystyle{ arc tg}\), za pomocą podstawienia.W przykładzie 1 dochodzimy do postaci :
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1-\cos z} \, dz=\int dx}\)
Całkę po lewej można rozwiązać za pomocą tzw. uniwersalnego podstawienia, na pewno była omawiana przy całkach z funkcji trygonometrycznych.-- 27 sie 2011, o 16:41 --\(\displaystyle{ y^2+x^2=2xy \cdot \frac{dy}{dx} \quad \big / : xy \, , \, xy\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=2 \frac{dy}{dx}}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{y}{x} \, \Rightarrow \, y= z\cdot x \, \Rightarrow \, y'=z'\cdot x + z}\)
\(\displaystyle{ z+\frac{1}{z}=2(z'\cdot x +z )}\)
\(\displaystyle{ z +\frac{1}{z}=\frac{dz}{dx} \cdot 2x+2z}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z}-z=2x \cdot \frac{dz}{dx}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-z^2}{z}=2x \cdot \frac{dz}{dx}}\)
\(\displaystyle{ \frac{z}{1-z^2} dz=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} dx}\)
Całkujemy stronami, całka po lewej przez podstawienie. Proszę policzyć całki i spróbować wrócić do podstawienia.równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
Bardzo dziękuję za pomoc, tamtą postać już rozumiem i inne przykłady też dobrze mi powychodziły
po scałkowaniu wychodzi mi :
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \cdot \ln\left| 1-z ^{2} \right| = \frac{1}{2} \cdot \ln x+C}\)
dalej przenosze logarytmy na druga strone, mnoze razy (-1) i korzystając z własności logarytmu wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\left| \left( 1-z ^{2} \right)x \right|=-C}\)
wykonuje dalsze obliczenia ale odp. w ksiązce jest inna \(\displaystyle{ y=C \cdot e ^{ \frac{y}{x} }}\)
z tej postaci którą napisałam wyżej nie mogę do tego dojść... ;/
po scałkowaniu wychodzi mi :
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \cdot \ln\left| 1-z ^{2} \right| = \frac{1}{2} \cdot \ln x+C}\)
dalej przenosze logarytmy na druga strone, mnoze razy (-1) i korzystając z własności logarytmu wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\left| \left( 1-z ^{2} \right)x \right|=-C}\)
wykonuje dalsze obliczenia ale odp. w ksiązce jest inna \(\displaystyle{ y=C \cdot e ^{ \frac{y}{x} }}\)
z tej postaci którą napisałam wyżej nie mogę do tego dojść... ;/
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 22:14 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Karoll_Fizyk
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 10 razy
równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
Jeżeli chodzi o równanie: \(\displaystyle{ y^{2}+x^{2}=2xy \cdot \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }}\)
Możemy od razu podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\) i podstawić \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\)
Po przekształceniach otrzymamy następujące całki:
\(\displaystyle{ 2 \int_{}^{} \frac{u \mbox{d}u }{1 - u ^{2} } = \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x}}\)
Rozwiązaniami całek są funkcje:
\(\displaystyle{ - \ln \left| u ^{2} - 1 \right| = \ln \left| x \right|}\)
\(\displaystyle{ u ^{2} - 1 = \frac{C _{1} }{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y ^{2} }{x ^{2} } - 1 = \frac{C _{1} }{x}}\)
Po przekształceniach dojdziemy do postaci ostatecznej:
\(\displaystyle{ y(x) = \sqrt{x \left( C _{1} + x \right) }}\)
Pozdrawiam!
Możemy od razu podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\) i podstawić \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\)
Po przekształceniach otrzymamy następujące całki:
\(\displaystyle{ 2 \int_{}^{} \frac{u \mbox{d}u }{1 - u ^{2} } = \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x}}\)
Rozwiązaniami całek są funkcje:
\(\displaystyle{ - \ln \left| u ^{2} - 1 \right| = \ln \left| x \right|}\)
\(\displaystyle{ u ^{2} - 1 = \frac{C _{1} }{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y ^{2} }{x ^{2} } - 1 = \frac{C _{1} }{x}}\)
Po przekształceniach dojdziemy do postaci ostatecznej:
\(\displaystyle{ y(x) = \sqrt{x \left( C _{1} + x \right) }}\)
Pozdrawiam!
równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
a powiedzcie mi, jak wyznaczyć z tego u ?
\(\displaystyle{ arctg \frac{u}{ \sqrt{2} }=2 \sqrt{2}x +C}\)
czy to robimy na takiej zasadzie, licznik wartości arctg = mianownik * tg|cala prawa strona równania| ?
Jeszcze jedno równanie (nie zgadza się wynik z odpowiedzią, a liczę 3 raz te przykład.. )
\(\displaystyle{ (x^{2}+2xy) \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = y^{2}}\)
po podstawieniach itp. dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u }{\mbox{d}x} (1+2u) \cdot x^{3} + x^{2}u(1+u)=0}}\)
dalej rozdzielam zmienne i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ ln|u|+ln|x|=C}\) gdzie: \(\displaystyle{ u= \frac{y}{x}}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ y= e^{c}}\)
w książce odp. jest taka: \(\displaystyle{ y^{2}+xy=C}\)
\(\displaystyle{ arctg \frac{u}{ \sqrt{2} }=2 \sqrt{2}x +C}\)
czy to robimy na takiej zasadzie, licznik wartości arctg = mianownik * tg|cala prawa strona równania| ?
Jeszcze jedno równanie (nie zgadza się wynik z odpowiedzią, a liczę 3 raz te przykład.. )
\(\displaystyle{ (x^{2}+2xy) \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = y^{2}}\)
po podstawieniach itp. dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u }{\mbox{d}x} (1+2u) \cdot x^{3} + x^{2}u(1+u)=0}}\)
dalej rozdzielam zmienne i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ ln|u|+ln|x|=C}\) gdzie: \(\displaystyle{ u= \frac{y}{x}}\)
ostatecznie:
\(\displaystyle{ y= e^{c}}\)
w książce odp. jest taka: \(\displaystyle{ y^{2}+xy=C}\)
Ostatnio zmieniony 28 sie 2011, o 19:25 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
kolorowe skarpetki
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
\(\displaystyle{ (x^2+2xy) \frac{dy}{dx}=y^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2+2xy}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2(1+2 \cdot \frac{y}{x})}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\left (\frac{y}{x} \right )^2 \cdot \frac{1}{1+2 \cdot \frac{y}{x}}}\)
Po podstawieniu :
\(\displaystyle{ x \cdot \frac{dz}{dx}+z=\frac{z^2}{2z+1}}\)
Rozdzielamy zmienne i wracamy do podstawienia...
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2+2xy}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2(1+2 \cdot \frac{y}{x})}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\left (\frac{y}{x} \right )^2 \cdot \frac{1}{1+2 \cdot \frac{y}{x}}}\)
Po podstawieniu :
\(\displaystyle{ x \cdot \frac{dz}{dx}+z=\frac{z^2}{2z+1}}\)
Rozdzielamy zmienne i wracamy do podstawienia...
-
Karoll_Fizyk
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 10 razy
równanie różniczkowe postaci f(ax+by+c)
\(\displaystyle{ arctg \frac{u}{ \sqrt{2} }=2 \sqrt{2}x +C}\)
Istnieje taka zależność między funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami cyklometrycznymi (do nich odwrotnych):
\(\displaystyle{ arctg (x) = y}\) ,gdy \(\displaystyle{ \tg (y) = x}\)
Należy jednak pamiętać o ograniczeniach, jakie niesie funkcja arkus tangens:
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi}{2} , \frac{ \pi}{2} \right)}\)
Stosujemy to do naszego przypadku... otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{u}{ \sqrt{2} } = \tg (2x \sqrt{2} + C )}\)
\(\displaystyle{ u = \tg (2x \sqrt{2} + C ) \cdot \sqrt{2}}\)
dla:
\(\displaystyle{ \frac{u}{ \sqrt{2} } \in \left( - \frac{ \pi}{2} , \frac{ \pi}{2} \right)}\)
Pozdrawiam!
Istnieje taka zależność między funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami cyklometrycznymi (do nich odwrotnych):
\(\displaystyle{ arctg (x) = y}\) ,gdy \(\displaystyle{ \tg (y) = x}\)
Należy jednak pamiętać o ograniczeniach, jakie niesie funkcja arkus tangens:
\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi}{2} , \frac{ \pi}{2} \right)}\)
Stosujemy to do naszego przypadku... otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{u}{ \sqrt{2} } = \tg (2x \sqrt{2} + C )}\)
\(\displaystyle{ u = \tg (2x \sqrt{2} + C ) \cdot \sqrt{2}}\)
dla:
\(\displaystyle{ \frac{u}{ \sqrt{2} } \in \left( - \frac{ \pi}{2} , \frac{ \pi}{2} \right)}\)
Pozdrawiam!