Zbieżność - dowód

[Miroslav]

Ma ktoś pomysł jak udowodnić coś takiego? :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) - szereg o wyrazach dodatnich.
Jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}< 1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n+1}}{a_n} < \frac{1}{2}}\)

[Adifek]

Niech \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=g< 1}\). Niech \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) taki, że \(\displaystyle{ g+\varepsilon <1}\). Wtedy dla każdego \(\displaystyle{ n}\) większego od pewnego \(\displaystyle{ n_{0}}\) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \le g+\varepsilon <1}\)

a wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+2}}{a_{n}} =\frac{a_{n+2} \cdot a_{n+1}}{a_{n+1} \cdot a_{n}} \le (g+\varepsilon)^{2}}\)

Indukcyjnie mamy:

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+k}}{a_{n}} \le (g+\varepsilon )^{k}}\)

stąd

\(\displaystyle{ \frac{a_{2n+1}}{a_{n}} \le (g+\varepsilon )^n}}\)

A to oczywiście dąży do zera

[Miroslav]

A jeżeli chcę wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}> 1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n+1}}{a_n} > \frac{1}{2}}\), to wystarczy w tym co napisałeś w sumie tylko znaki pozmieniać i będzie OK?