Zbieżność szeregu zależna od parametru

[skolukmar]

Cześć,
Proszę o pomoc w zadaniu: Znaleźć p dla którego szereg będzie zbieżny.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{} \frac{\ln(1+n^p)}{n^p}}\)

Bardzo proszę o wskazówki.

[Lorek]

Wskazówka 1.: dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \ln (1+n^p)\approx \ln n^p=p\ln n}\)

Wskazówka 2.: dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^a}=0}\)

[fon_nojman]

Rozbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \ge \frac{\ln(n^p)}{n^p}}\)

Zbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \le \frac{\ln(2n^p)}{n^p}.}\)

Wskazówka 2.: dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^a}=0}\)

Jak to zastosować do rozwiązania?

[Lorek]

fon_nojman,

Ukryta treść:    

dla \(\displaystyle{ p>1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{p+1}{2}>1}\) i \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}>0}\)
I wtedy \(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n^p}=\frac{\ln n}{n^\frac{p-1}{2}} \frac{1}{n^\frac{p+1}{2}}}\)
Pierwszy czynnik jest ograniczony, drugi daje nam szereg zbieżny, więc...

Teraz widzę, że ten warunek to nawet trochę za silny, ale trudno, niech już zostanie.

[fon_nojman]

Dzięki za odpowiedź w poście ale nie do końca rozumie.

Z jakiego kryterium mam skorzystać ? Porównawczego, ilorazowego ?
Jak mam z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ p}\) ?

Tytuł: Zbieżność szeregu zależna od parametru

Rozbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \ge \frac{\ln(n^p)}{n^p}}\)

Zbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \le \frac{\ln(2n^p)}{n^p}.}\)

Wskazówka 2.: dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^a}=0}\)

Jak to zastosować do rozwiązania?

Korzystasz z kryterium porównawczego. Dla jakich \(\displaystyle{ p}\) szereg \(\displaystyle{ \sum \frac{\ln(n^p)}{n^p}}\) jest rozbieżny? Skorzystaj z własności logarytmu.